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[[抽象代数学]]における'''十六元数'''（じゅうろくげんすう、{{lang-en-short|sedenion}}）は、全体として[[実数]]体 {{math|'''R'''}} 上{{math|16}}次元の（双線型な乗法を持つベクトル空間という意味での）非結合的[[分配多元環]]を成す代数的な対象で、その全体はしばしば {{math|'''S'''}} で表される。[[八元数]]に[[ケーリー＝ディクソンの構成法]]を使って得られる対合的二次代数である。 「十六元数」という用語は、他の十六次元代数構造、例えば[[四元数]]の複製二つの[[多元環のテンソル積|テンソル積]]や実数体上の四次正方行列環などに対しても用いられ、{{harvtxt|Smith |1995}} で調べられている。 == 算術 == ケーリーの八元数と同様に十六元数の乗法は[[交換法則|可換]]でも[[結合法則|結合的]]でもない。そして、ケーリーの八元数環 {{math|'''O'''}} と明確に違うことに、十六元数の全体 {{math|'''S'''}} は[[交代代数]]にもならない。十六元数についていえることは{{仮リンク|冪結合性|en|Power associativity}}を持っているということである。これは {{math|'''S'''}} の元 {{mvar|x}} に対して、冪 {{mvar|x{{exp|n}}}} は[[well-defined|矛盾なく定義可能]]で、それらが{{仮リンク|柔軟恒等式|label=柔軟|en|flexible identity}}であることを意味する。 任意の十六元数は、{{math|'''R'''}}-[[ベクトル空間]]としての {{math|'''S'''}} の[[基底 (線型代数学)|基底]]を成す16個の単位十六元数 {{math|{{mvar|e}}{{ind|0}} {{=}} 1, {{mvar|e}}{{ind|1}}, {{mvar|e}}{{ind|2}}, {{mvar|e}}{{ind|3}}, …, {{mvar|e}}{{ind|15}}}} の実係数[[線型結合]]になっている。 十六元数は乗法に関する単位元を持ち、多くの元がその逆元を持つが、[[多元体]]とはならない。これは[[零因子]]の存在による。つまり、それ自体は零ではないが掛けると零になるような十六元数の組があるのだが、簡単な例としては {{math|({{mvar|e}}{{ind|3}} + {{mvar|e}}{{ind|10}}) × ({{mvar|e}}{{ind|6}} − {{mvar|e}}{{ind|15}})}} などを挙げることができる。十六元数からケーリー＝ディクソンの構成法を元にして作られるどの超複素数系も零因子を含む。 単位十六元数の乗積表は次のようなものである。 {| class="wikitable" style="text-align:right; margin:1ex auto 2ex auto;" align=center |+ style="font-weight:bold; font-size:larger;" | 基底の乗積表 |- ! {{math|×}} !! {{math|1}} !! {{math|''e''{{ind|1}}}} !! {{math|''e''{{ind|2}}}} !! {{math|''e''{{ind|3}}}} !! {{math|''e''{{ind|4}}}} !! {{math|''e''{{ind|5}}}} !! {{math|''e''{{ind|6}}}} !! {{math|''e''{{ind|7}}}} !! {{math|''e''{{ind|8}}}} !! {{math|''e''{{ind|9}}}} !! {{math|''e''{{ind|10}}}} !! {{math|''e''{{ind|11}}}} !! {{math|''e''{{ind|12}}}} !! {{math|''e''{{ind|13}}}} !! {{math|''e''{{ind|14}}}} !! {{math|''e''{{ind|15}}}} |- ! {{math|1}} | {{math|1}} || {{math|''e''{{ind|1}}}} || {{math|''e''{{ind|2}}}} || {{math|''e''{{ind|3}}}} || {{math|''e''{{ind|4}}}} || {{math|''e''{{ind|5}}}} || {{math|''e''{{ind|6}}}} || {{math|''e''{{ind|7}}}} || {{math|''e''{{ind|8}}}} || {{math|''e''{{ind|9}}}} || {{math|''e''{{ind|10}}}} || {{math|''e''{{ind|11}}}} || {{math|''e''{{ind|12}}}} || {{math|''e''{{ind|13}}}} || {{math|''e''{{ind|14}}}} || {{math|''e''{{ind|15}}}}</td> |- ! {{math|''e''{{ind|1}}}} | {{math|''e''{{ind|1}}}} || {{math|−1}} || {{math|''e''{{ind|3}}}} || {{math|−''e''{{ind|2}}}} || {{math|''e''{{ind|5}}}} || {{math|−''e''{{ind|4}}}} || {{math|−''e''{{ind|7}}}} || {{math|''e''{{ind|6}}}} || {{math|''e''{{ind|9}}}} || {{math|−''e''{{ind|8}}}} || {{math|−''e''{{ind|11}}}} || {{math|''e''{{ind|10}}}} || {{math|−''e''{{ind|13}}}} || {{math|''e''{{ind|12}}}} || {{math|''e''{{ind|15}}}} || {{math|−''e''{{ind|14}}}} |- ! 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[https://arxiv.org/abs/math/0412390] * Kivunge, Benard M. and Smith, Jonathan D. H: "[http://www.emis.de/journals/CMUC/pdf/cmuc0402/kivunge.pdf Subloops of sedenions]", Comment.Math.Univ.Carolinae 45,2 (2004)295–302. *{{Citation | last1=Moreno | first1=Guillermo | title=The zero divisors of the Cayley-Dickson algebras over the real numbers | arxiv=q-alg/9710013 | mr=1625585 | year=1998 | journal=Sociedad Matemática Mexicana. Boletí n. Tercera Serie | volume=4 | issue=1 | pages=13–28}} *{{Citation | last1=Smith | first1=Jonathan D. H. | title=A left loop on the 15-sphere | doi=10.1006/jabr.1995.1237 | mr=1345298 | year=1995 | journal=[[Journal of Algebra]] | volume=176 | issue=1 | pages=128–138}} {{Number systems}} {{DEFAULTSORT:しゆうろくけんすう}} [[Category:超複素数系]] [[Category:非結合代数]] [[Category:数学に関する記事]]
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