単偶数のソースを表示

{{出典の明記|date=2016年5月}}
{{読み仮名|'''単偶数'''|たんぐうすう|{{lang-en-short|singly even number}}}}または{{読み仮名|'''半偶数'''|はんぐうすう}}とは、[[4]]の[[倍数]]でない[[偶数]]である。すなわち単偶数は、[[2]]の倍数だが4の倍数ではない[[整数]]である。

単偶数（半偶数）に対して、4の倍数を[[複偶数]]（全偶数）という。

==概説==
単偶数は、 4''n'' ± 2（''n'' は整数）の形をしている。小さい順から十進表記で、[[6]], [[10]], [[14]], [[18]], [[22]], [[26]], [[30]]…と続く。

[[十進法]]では、{{math|&minus;82, &minus;38, 6, 10, 22, 54, 90, 138}} などが単偶数で、{{math|&minus;40, &minus;16, 8, 12, 28, 64, 120}} などが[[複偶数]]である。[[二進法]]では、下二桁が 00 になっていれば複偶数である。

[[位取り記数法|位取り]]の底が複偶数であれば、一の位がどの数かで単偶数か複偶数かを判別できる。例えば、[[十二進法]]では 2, 6, A が、[[二十進法]]では 2, 6, A, E, I が一の位に来ていれば、その数は単偶数である。対して、十二進法では 0, 4, 8 が、二十進法では 0, 4, 8, C, G が一の位に来ていれば、その数は複偶数である。

複偶数にも類型があり、「[[奇数]]で割り切れない複偶数」と、「奇数で割り切れる複偶数」の二つに分かれる。小さい順から十進表記で、奇数で割り切れない複偶数は[[4]], [[8]], [[16]], [[32]], [[64]]…などの「[[2の冪|2の累乗数]]」であり、奇数で割り切れる複偶数は[[12]], [[20]], [[24]], [[28]], [[36]], [[40]], [[44]]…などの「[[素因数分解]]すると"2<sup>p</sup>×奇数"で、pが2以上の数」となる。

== 性質 ==
=== 底に依存しない性質 ===
以下、''n'' は正の整数（[[自然数]]）であるとする。
* 単偶数は[[多冪数]]でない。また単偶数は2つの[[平方数]]の差で表すことはできない。しかし、2つの多冪数の差で表すことはできる<ref>{{cite journal |author=McDaniel, Wayne L. |title=Representations of every integer as the difference of powerful numbers |journal=[[w:Fibonacci Quarterly|Fibonacci Quarterly]] |volume=20 |year=1982 |pages=85–87}}</ref>。
* 単偶数同士の和・差・積は4の倍数である<ref group="注"><math>n,m\in\mathbb Z</math> に対し、<math>(4n+2)+(4m+2)=4(n+m+1), (4n+2)-(4m+2)=4(n-m), (4n+2)\times(4m+2)=4(4nm+2n+2m+1).</math></ref>。例：14 + 6 = 20, 14 − 6 = 8, 14 × 6 = 84
* [[三角数]]のうち単偶数であるのは 8''n'' − 5 番目と 8''n'' − 4 番目の三角数のみである。
* [[フィボナッチ数]]のうち単偶数であるのは 6''n'' − 3 番目のフィボナッチ数のみである。
* [[完全数]]かつ単偶数であるのは [[6]] のみである。

====単偶数進数での性質====
* 底が単偶数の[[位取り記数法|N進法]]では、2{{sup|-n}}は小数点以下 n 桁の[[有限小数]]になる。例えば、[[1/4]]（= 2{{sup|-2}}）は小数点以下二桁、[[1/8]]（= 2{{sup|-3}}）は小数点以下三桁の有限小数になる。
* 「100÷4」の二桁整数abの冪数は、下二桁もabとなる。同じく、「100×{{sfrac|3|4}}」の二桁整数cbの冪数は、下二桁が「100×{{sfrac|3|4}}」と「100÷4」の二桁整数が交互に循環し、 cb→ab→cbの循環になる。
** 例：[[十進法]]だと、[[25]]→[[625|6'''25''']]→[[10000|156'''25''']]…、[[75]]→[[5000|56'''25''']]→4218'''75'''→316406'''25'''… の循環となる。
** 例：[[六進法]]だと、[[9|13]]→[[81|2'''13''']]→[[729|32'''13''']]…、[[27|43]]→32'''13'''→[[10000|2310'''43''']]→152202'''13'''… の循環となる。
** 例：[[十八進法]]だと、[[81|49]]→[[6000|12'''49''']]→512'''49'''…、[[243|D9]]→[[50000|A2'''49''']]→7AC6'''D9'''→5C9512'''49'''… の循環となる。
* 「(100×{{sfrac|3|4}})+1」の二桁整数deの冪数は、下二桁が常にdeとなる。同じく、「(100÷4)-1」の二桁整数fgの冪数は、下二桁が「(100÷4)-1」と「(100×{{sfrac|3|4}})+1」の二桁整数が交互に循環し、 fg→de→fgの循環になる。
** 例：十進法だと、[[76]]→57'''76'''→4389'''76'''…、[[24]]→[[576|5'''76''']]→138'''24'''→3317'''76'''… の循環となる。
** 例：六進法だと、[[28|44]]→[[784|33'''44''']]→2453'''44'''…、[[8|12]]→[[64|1'''44''']]→[[512|22'''12''']]→[[4096|305'''44''']]… の循環となる。

====底に依存する性質 ====
* [[十進法]]では、全ての単偶数の下二桁は、
::02, 06, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, 38, 42, 46, 50, 54, 58, 62, 66, 70, 74, 78, 82, 86, 90, 94, 98
:の [[25]]{{sub|10}} 通り（= [[5]]{{sup|2}}）のいずれかである。
* [[六進法]]では、全ての単偶数の下二桁は、
::02, 10, 14, 22, 30, 34, 42, 50, 54
:の [[9]] 通り（= 13{{sub|6}} 通り = [[3]]{{sup|2}}）のいずれかである。
* [[十八進法]]では、全ての単偶数の下二桁は、
::02, 06, 0A, 0E, 10, 14, 18, 1C, 1G, 22, 26 … GA, GE, H0, H4, H8, HC, HG 
: の[[81]]{{sub|10}} 通り（= 49{{sub|18}} 通り = [[9]]{{sup|2}} = 3{{sup|4}}）になる。
* [[十二進法]]や[[二十進法]]は、底が複偶数で奇数の4倍であるため、1/8周である[[45]]{{sub|10}}（39{{sub|12}} , 25{{sub|20}}）の倍数は、一の位が0になるのは半周である[[180]]{{sub|10}}（130{{sub|12}} , 90{{sub|20}}）の倍数のみとなる。
** 1/4周である[[90]]{{sub|10}}の倍数のうち、単偶数は76{{sub|12}} , 4A{{sub|20}}（いずれも90{{sub|10}}）、1A6{{sub|12}} , DA{{sub|20}}（いずれも[[270]]{{sub|10}}）というように一の位には底の1/2になる偶数が現れる。
** 45{{sub|10}}の倍数で、奇数はB3{{sub|12}} , 6F{{sub|20}}（いずれも[[135]]{{sub|10}}）、169{{sub|12}} , B5{{sub|20}}（いずれも[[225]]{{sub|10}}）、223{{sub|12}} , FF{{sub|20}}（いずれも[[315]]{{sub|10}}）というように、一の位には底の1/4か3/4になる奇数が現れる。
** 一の位が0になる例として、1周である[[360]]{{sub|10}}（260{{sub|12}} , I0{{sub|20}}）、1周半である[[540]]{{sub|10}}（390{{sub|12}} , 170{{sub|20}}）、2周である[[720]]{{sub|10}}（500{{sub|12}} , 1G0{{sub|20}}）、2周半の[[900]]{{sub|10}}（630{{sub|12}} , 250{{sub|20}}）、3周の[[1080]]{{sub|10}}（760{{sub|12}} , 2E0{{sub|20}}）、3周半の[[1260]]{{sub|10}}（890{{sub|12}} , 330{{sub|20}}）などが該当する。

== 脚注 ==
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=== 注釈 ===
{{Reflist|group="注"}}
=== 出典 ===
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[偶数]]
* [[奇数]]
* [[1/2]]
* [[1/4]]
* [[複偶数]]

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|title=Singly Even Number|urlname=SinglyEvenNumber}}

{{DEFAULTSORT:たんくうすう}}
[[Category:算術]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:整数の類]]
[[Category:数学に関する記事]]