単射的対象のソースを表示

[[数学]]，特に[[圏論]]において，'''単射的対象'''（たんしゃてきたいしょう，{{lang-en-short|injective object}}, あるいは'''移入的対象'''，'''入射的対象'''）の概念は[[単射的加群]]の概念の一般化である．この概念は[[ホモトピー論]]と[[モデル圏]]の理論において重要である．双対概念は[[射影的対象]]である．

==定義==
[[File:Injektivesobjekt.png|thumb|{{mvar|Q}} が {{mvar|H}} 単射的とは，{{mvar|H}} における射 {{math|''A'' → ''B''}} が与えられたとき，任意の {{math|''A'' → ''Q''}} が {{math|''B'' → ''Q''}} に拡張することをいう．]]

<math>\mathfrak{C}</math> を圏とし <math>\mathcal{H}</math> を <math>\mathfrak{C}</math> の射のあるクラスとする．

<math>\mathfrak{C}</math> の対象 {{mvar|Q}} が '''<math>\mathcal{H}</math>-単射的'''とは，<math>\mathcal{H}</math> の任意の射 {{math|''f'': ''A'' &rarr; ''Q''}} と任意の射 {{math|''h'': ''A'' &rarr; ''B''}} に対して，ある射 {{math|''g'': ''B'' &rarr; ''Q''}} が存在して {{mvar|f}} （の始域）を拡張する，すなわち <math> g \circ h = f</math> となることをいう．

上の定義における射 {{mvar|g}} は {{mvar|h}} と {{mvar|f}} によって一意的に決定されることは要求されない．

局所的に小さい圏では，それは[[hom関手]] <math>Hom_{\mathfrak{C}}(-,Q)</math> が <math>\mathcal{H}</math>-射を全射に送ることと同値である．

<math>\mathcal{H}</math> の古典的な選択は[[単射 (圏論)|単射]]全体のクラスであり，この場合，'''単射的対象'''という表現が使われる．

==アーベル圏の場合==
アーベル圏の場合が単射性の概念のもともとの枠組みであった（そして今でも最も重要なものである）．<math>\mathfrak{C}</math> が[[アーベル圏]]のとき，<math>\mathfrak{C}</math> の対象 {{mvar|A}} が単射的であるとは，[[hom関手]] {{math|Hom<sub>'''C'''</sub>(&ndash;,''A'')}} が[[完全関手|完全]]であることをいう．

:<math>0 \to A \to B \to C \to 0</math>
を <math>\mathfrak{C}</math> における完全列であって {{mvar|A}} が単射的対象であるものとする．すると列は[[分裂補題|分裂し]]，{{mvar|B}} が単射的であることと {{mvar|C}} が単射的であることは同値である<ref>証明：列は分裂するから {{mvar|B}} は {{mvar|A}} と {{mvar|C}} の直和である．</ref>．

==充分単射的対象をもつ==

<math>\mathfrak{C}</math> を圏とし，{{mvar|H}} を <math>\mathfrak{C}</math> の射のあるクラスとする；圏 <math>\mathfrak{C}</math> が''充分 {{mvar|H}} 単射的対象をもつ'' (have enough {{mvar|H}} injectives) とは，<math>\mathfrak{C}</math> のすべての対象 {{mvar|X}} に対して，{{mvar|X}} からある {{mvar|H}}-単射的対象へのある {{mvar|H}} 射が存在することをいう．

==単射的包絡==

<math>\mathfrak{C}</math> における {{mvar|H}} 射 {{mvar|g}} が '''{{mvar|H}} 本質的''' ({{mvar|H}}-essential) であるとは，任意の射 {{mvar|f}} に対して，合成 {{mvar|fg}} が {{mvar|H}} に属するのは {{mvar|f}} が {{mvar|H}} に属するときに限ることをいう．{{mvar|H}} が単射全体のクラスであるとき，{{mvar|g}} は{{仮リンク|本質的単射|en|Essential monomorphism}}と呼ばれる．

{{mvar|f}} が {{mvar|H}} 本質的 {{mvar|H}} 射であって，始域が {{mvar|X}}, 余域が {{mvar|H}} 単射的な {{mvar|G}} であるとき，{{mvar|G}} は {{mvar|X}} の '''{{mvar|H}} 単射的包絡''' ({{mvar|H}}-injective hull) と呼ばれる．するとこの {{mvar|H}} 単射的包絡は，標準的でない同型の違いを除いて一意的である．

==例==

*[[アーベル群]]と[[群準同型]]の圏において，単射的対象は[[可除群]]である．
*[[環上の加群|加群]]と[[加群準同型]]の圏 {{math|''R''-Mod}} において，単射的対象は[[単射的加群]]である．{{math|''R''-Mod}} は[[単射的包絡]]をもつ（したがって {{math|''R''-Mod}} は充分単射的対象をもつ）．
*[[距離空間]]と{{仮リンク|nonexpansive mapping|en|nonexpansive mapping}}の圏 [[距離空間の圏|{{math|Met}}]] において，単射的対象は{{仮リンク|超凸距離空間|en|injective metric space}}であり，距離空間の単射的包絡はその{{仮リンク|超凸包|en|tight span}}である．
*[[T0空間|{{math|''T''{{sub|0}}}} 空間]]と[[連続写像]]の圏において，単射的対象は必ず[[連続束]]上の[[スコット連続|スコット位相]]であり，したがってそれは必ず{{仮リンク|Sober space|en|Sober space|label=sober}}かつ[[局所コンパクト]]である．
*{{仮リンク|単体的集合|en|simplicial set}}の圏において，[[anodyne extension]]s のクラスに関する単射的対象は{{仮リンク|カン複体|en|Kan complex}}である．
*半順序集合と単調写像の圏において，[[完備束]]は{{仮リンク|順序埋め込み|en|order-embedding}}に対する単射的対象をなし，半順序集合の {{仮リンク|Dedekind–MacNeille 完備化|en|Dedekind–MacNeille completion}}はその単射的包絡である．
*より一般の圏，例えば[[関手圏]]や，[[環付き空間]] {{math|(''X'', O<sub>''X''</sub>)}} 上の [[加群の層|{{math|O<sub>''X''</sub>}} 加群]]の[[層 (数学)|層]]の圏においても単射的対象を考えることができる．

==関連項目==
*[[射影的対象]]

==脚注==
{{reflist}}

==参考文献==
*J. Rosicky, Injectivity and accessible categories
*F. Cagliari and S. Montovani, T<sub>0</sub>-reflection and injective hulls of fibre spaces

{{DEFAULTSORT:たんしやてきたいしよう}}
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:対象 (圏論)]]