双代数のソースを表示

{{Refimprove|date=December 2009}}

[[数学]]において，[[可換体|体]] {{mvar|K}} 上の'''双代数'''（そうだいすう，{{lang-en-short|bialgebra}}）とは，{{mvar|K}} 上の[[ベクトル空間]]であって，[[単位的代数|単位的]][[結合代数]]かつ[[余代数]]であるようなものである．代数構造と余代数構造はさらなる公理によって整合性を持つ．具体的には，[[余積]]と[[余単位]]はともに単位的代数の[[準同型]]である，あるいは同じことであるが，代数の積と単位射はともに[[余代数の準同型]]である．（これらのステートメントは同じ[[可換図式]]によって表されるから同値である．）

類似している双代数は双代数準同型によって関連付けられる．双代数の準同型は代数と余代数両方の準同型であるような[[線型写像]]である．

可換図式の対称性に反映されているように，双代数の定義は[[双対 (圏論)|自己双対]]であり，したがって，{{mvar|B}} の[[双対空間|双対]]を定義できるならば（{{mvar|B}} が有限次元ならいつでも可能である），自動的に双代数になる．

{{Algebraic structures |Algebra}}

== 形式的な定義 ==

{{math|(''B'', ∇, ''η'', Δ, ''ε'')}} が {{mvar|K}} 上の'''双代数''' (bialgebra) であるとは，以下の性質を満たすことをいう：
* {{mvar|B}} は {{mvar|K}} 上のベクトル空間である；
* 2つの {{mvar|K}} [[線型写像]]（乗法）{{math|∇: ''B'' ⊗ ''B'' → ''B''}}（{{mvar|K}} [[双線型写像]] {{math|∇: ''B'' × ''B'' → ''B''}} と同値である）と（単位射）{{math|''η'': ''K'' → ''B''}} が存在して，{{math|(''B'', ∇, ''η'')}} は単位的結合的[[体上の多元環|代数]]である；
* 2つの {{mvar|K}} 線型写像（余積）{{math|Δ: ''B'' → ''B'' ⊗ ''B''}} と（余単位射）{{math|''ε'': ''B'' → ''K''}} が存在して，{{math|(''B'', Δ, ''ε'')}} は（余単位的余結合的）[[余代数]]である；
* 以下の[[可換図式]]によって表される協調性条件：

# 乗法 {{math|∇}} と余乗法 {{math|Δ}}<ref>{{cite book|author=Dăscălescu, Năstăsescu & Raianu|year=2001|title=Hopf Algebras: An introduction|url={{Google books|plainurl=y|id=pBJ6sbPHA0IC|page=147|text=is a morphism of coalgebras}}|pages=147 & 148}}</ref> 
#::[[File:Bialgebra2.svg|500px|Bialgebra commutative diagrams]]
#: ただし {{math|''τ'': ''B'' ⊗ ''B'' → ''B'' ⊗ ''B''}} は {{mvar|B}} のすべての {{mvar|x}} と {{mvar|y}} に対して {{math|1=''τ''(''x'' ⊗ ''y'') = ''y'' ⊗ ''x''}} で定義される[[線型写像]]，
# 乗法 {{math|∇}} と余単位 {{mvar|ε}}
#::[[File:Bialgebra3.svg|310px|Bialgebra commutative diagrams]]
# 余乗法 {{math|Δ}} と単位 {{mvar|η}}<ref>{{cite book|author=Dăscălescu, Năstăsescu & Raianu |title=Hopf Algebras: An introduction|year=2001|url={{Google books|plainurl=y|id=pBJ6sbPHA0IC|page=148|text=is a morphism of coalgebras}}|page=148}}</ref> 
#::[[File:Bialgebra4a.svg|310px|Bialgebra commutative diagrams]]
# 単位射 {{mvar|η}} と余単位射 {{mvar|ε}}
#::[[File:Bialgebra1.svg|125px|Bialgebra commutative diagrams]]

==余結合性と余単位==
[[多重線型写像|{{mvar|K}} 線型写像]] {{math|Δ: ''B'' → ''B'' ⊗ ''B''}} が[[余代数|余結合的]]とは <math>(\mathrm{id}_B \otimes \Delta) \circ \Delta = (\Delta \otimes \mathrm{id}_B) \circ \Delta</math> が成り立つことをいう．

{{mvar|K}} 線型写像 {{math|''ε'': ''B'' → ''K''}} が余単位射であるとは <math>(\mathrm{id}_B \otimes \epsilon) \circ \Delta = \mathrm{id}_B = (\epsilon \otimes \mathrm{id}_B) \circ \Delta</math> が成り立つことをいう．

余結合性と余単位射は次の2つの図式の[[可換図式|可換性]]によって表される（それらは代数の結合性と単位元をあらわす図式の双対である）：

[[File:Bialgebra Diagram.svg|center|800px]]

== 協調性の条件 ==
4つの可換図式は「余積と余単位は代数の[[準同型]]である」あるいは同じことだが「積と単位射は余代数の[[準同型]]である」と読むことができる．

これらの主張は {{mvar|B}} の他の関係するすべてのベクトル空間における代数と余代数の自然な構造を説明すれば意味が分かる：{{math|(''K'', ∇<sub>0</sub>, η<sub>0</sub>)}} は明らかな方法で単位的結合代数であり，{{math|(''B'' ⊗ ''B'', ∇<sub>2</sub>, η<sub>2</sub>)}} は単位的結合代数で，単位射と積は

:<math>\eta_2 := (\eta \otimes \eta) : K \otimes K \equiv K \to (B \otimes B) </math>
:<math>\nabla_2 := (\nabla \otimes \nabla) \circ (id \otimes \tau \otimes id) : (B \otimes B) \otimes (B \otimes B) \to (B \otimes B) </math>,

したがって <math>\nabla_2 ( (x_1 \otimes x_2) \otimes (y_1 \otimes y_2) ) = \nabla(x_1 \otimes y_1) \otimes \nabla(x_2 \otimes y_2) </math> あるいは {{math|∇}} を省いて[[乗法#表記|積を並置で書いて]] <math>(x_1 \otimes x_2)(y_1 \otimes y_2) = x_1 y_1 \otimes x_2 y_2 </math>;

同様に，{{math|(''K'', Δ<sub>0</sub>, ε<sub>0</sub>)}} は明らかな方法で余代数であり，{{math|''B'' ⊗ ''B''}} は余代数で余単位と余積は

:<math>\epsilon_2 := (\epsilon \otimes \epsilon) : (B \otimes B) \to K \otimes K \equiv K</math>
:<math>\Delta_2 :=  (id \otimes \tau \otimes id) \circ (\Delta \otimes \Delta)  : (B \otimes B) \to (B \otimes B) \otimes (B \otimes B)</math>

である．

すると，図式 1 と 3 は {{math|Δ: ''B'' → ''B'' ⊗ ''B''}} は単位的（結合）代数 {{math|(''B'', ∇, η)}} と {{math|(''B'' ⊗ ''B'', ∇<sub>2</sub>, η<sub>2</sub>)}} の準同型である

:<math>\Delta \circ \nabla = \nabla_2 \circ (\Delta \otimes \Delta) : (B \otimes B) \to (B \otimes B)</math>, あるいは単に Δ(''xy'') = Δ(''x'') Δ(''y''),
:<math>\Delta \circ \eta = \eta_2 : K \to (B \otimes B)</math>, あるいは単に Δ(1<sub>''B''</sub>) = 1<sub>''B'' ⊗ ''B''</sub>

と言っている；図式 2 と 4 は {{math|''ε'': ''B'' → ''K''}} が単位的（結合）代数 {{math|(''B'', ∇, η)}} と {{math|(''K'', ∇<sub>0</sub>, η<sub>0</sub>)}} の準同型であると言っている：

:<math>\epsilon \circ \nabla = \nabla_0 \circ (\epsilon \otimes \epsilon) : (B \otimes B) \to K</math>, あるいは単に ε(''xy'') = ε(''x'') ε(''y'')
:<math>\epsilon \circ \eta = \eta_0 : K \to K</math>, あるいは単に  ε(1<sub>''B''</sub>) = 1<sub>''K''</sub>.

同じことだが，図式 1 と 2 は {{math|∇: ''B'' ⊗ ''B'' → ''B''}} が（余単位的余結合）余代数 {{math|(''B'' ⊗ ''B'', Δ<sub>2</sub>, ε<sub>2</sub>)}} と {{math|(''B'', Δ, ε)}} の準同型である：

:<math> \nabla \otimes \nabla \circ \Delta_2 = \Delta \circ \nabla : (B \otimes B) \to (B \otimes B),</math>
:<math> \nabla_0 \circ \epsilon_2 = \epsilon \circ \nabla : (B \otimes B) \to K</math>

と言っていて，図式 3 と 4 は {{math|''η'': ''K'' → ''B''}} は（余単位的余結合）余代数 {{math|(''K'', Δ<sub>0</sub>, ε<sub>0</sub>)}} と {{math|(''B'', Δ, ε)}} の準同型である：

:<math>\eta_2 \circ \Delta_0 = \Delta \circ \eta : K \to (B \otimes B),</math>
:<math>\eta_0 \circ \epsilon_0 = \epsilon \circ \eta : K \to K</math>

と言っている．

==例==
===群環===
双代数の1つの例は，[[群 (数学)|群]] {{mvar|G}} から {{math|'''R'''}} への関数全体の集合であり，各 {{math|''g'' &isin; ''G''}} に対する標準基底ベクトル {{math|'''e'''<sub>''g''</sub>}} の線型結合からなるベクトル空間 {{math|'''R'''{{sup|''G''}}}} として表すことができ，係数がすべて非負で和が 1 のときには {{mvar|G}} 上の[[確率分布]]を表している．余単位的余代数を生じる適切な余積と余単位の例は
:<math>\Delta(\mathbf e_g) = \mathbf e_g \otimes \mathbf e_g,\quad \varepsilon(\mathbf e_g) = 1</math>
であり（{{math|'''R'''{{sup|''G''}}}} 全体には線型性で伸ばす），余積は[[確率変数]]のコピーを作ることを表し，余単位は確率変数を「探知する」ことを表す，つまり，（単一のテンソル因子で表される）確率変数の値は忘れて残りの変数上の[[周辺分布]]（残りのテンソル因子）を得る．上のような確率変数のことばでの {{math|(Δ, ''ε'')}} の解釈が与えられると，双代数の一貫性の条件は以下のような {{math|(∇, ''η'')}} の制約条件に相当する：

# {{mvar|η}} はすべてのほかの確率変数とは独立な正規化された確率分布を準備する作用素で，
# 積 {{math|∇}} は2変数の確率分布を1変数の確率分布に写し，
# {{mvar|&eta;}} によって与えられる分布における確率変数をコピーすることは分布 {{mvar|&eta;}} における2つの独立な確率変数を持つことと同値で，
# 2つの確率変数の積を取ることと得られる確率変数のコピーを準備することは各確率変数のコピーを互いに独立に準備し対で一緒に掛けるのと同じ分布を持つ．

これらの制約を満たす対 {{math|(∇, ''η'')}} は[[畳み込み]]作用素
:<math>\nabla\bigl(\mathbf e_g \otimes \mathbf e_h\bigr) = \mathbf e_{gh} </math>
である；これは2つの確率変数の分布から正規化された確率分布を生み出し，単位元としてデルタ分布 <math> \eta = \mathbf e_{i} </math> を持つ，ただし ''i''&nbsp;&isin;&nbsp;''G'' は群 {{mvar|G}} の単位元を表す．

===他の例===
双代数の他の例には[[テンソル代数]]があり，これは適切な余積と余単位を加えることで双代数にできる．詳細はその記事を参照のこと．

双代数は適切な対合射が見つけられればしばしば[[ホップ代数]]に拡張できる．したがって，すべてのホップ代数は双代数の例である<ref>{{cite book|author=Dăscălescu, Năstăsescu & Raianu |title=Hopf Algebras: An introduction|year=2001|url={{Google books|plainurl=y|id=pBJ6sbPHA0IC|page=151|text=Hopf}}|page=151}}</ref>．積と余積の間に異なる両立性を持つ，あるいは異なるタイプの積と余積を持つ類似の構造には，{{仮リンク|リー双代数|en|Lie bialgebra}}や[[フロベニウス代数]]だある．さらなる例は{{仮リンク|余代数|en|coalgebra|preserve=1}}の記事で与えられる．

== 関連項目 ==
*{{仮リンク|準双代数|en|Quasi-bialgebra}}
*[[フロベニウス代数]]
*[[ホップ代数]]

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Citation| last1=Dăscălescu| first1=Sorin| last2=Năstăsescu| first2=Constantin| last3=Raianu| first3=Șerban| year=2001| title=Hopf Algebras: An introduction| edition=1st| volume = 235| series=Pure and Applied Mathematics | publisher=Marcel Dekker| isbn = 0-8247-0481-9}}.

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:そうたいすう}}
[[Category:双代数]]
[[Category:余代数]]
[[Category:モノイド圏]]
[[Category:数学に関する記事]]