双八元数のソースを表示

{{脚注の不足|date=2017-12}} 

[[数学]]における'''双八元数'''（そうはちげんすう、{{lang-en-short|''bi&shy;octonion''}}）または'''複素&shy;八元数'''（ふくそはちげんすう、{{lang-en-short|''complex octonion''}}）は、{{ill2|双四元数|en|biquaternion}} {{mvar|p, q}} の対 {{math|(''p, q'')}} として与えられる。二つの双八元数の積は、双四元数の乗法と双共軛 (biconjugate) {{math|''p'' {{mapsto}} ''p*''}} を用いて <math display="block">(p,q)(r,s) := (pr - s^* q,\ sp + q r^*)</math> と定義される。
* 双八元数 {{math|''z'' {{coloneqq}} (''p, q'')}} の共軛は {{math|''z*'' {{coloneqq}} (''p*'', &minus;''q'')}} とする。
* 双八元数 {{mvar|z}} のノルムは {{math|1=''N''(''z'') {{coloneqq}} ''zz*'' (= ''pp*'' + ''qq*'')}} と定義され、これは八つの項を持つ複素二次形式（エルミート二次形式）である。

双八元数全体の成す多元環（双八元数代数、双八元数環）は、単純に実係数の[[八元数]]体の{{ill2|複素化|en|complexification}}として導入されることもあるが、[[抽象代数学]]においては[[複素数]]体・自明な対合・二次形式 {{math|''z''{{exp|2}}}} の三つ組からの[[ケイリー&ndash;ディクソン構成]]の結果として得られる。双八元数環は[[八元数環|一般八元数環]]の一つの例である。

双八元数の任意の対 {{mvar|y, z}} に対して <math display="block"> N(yz) = N(y) N(z)</math> が成り立つから、これにより {{mvar|N}} は合成可能な二次形式であることが分かり、したがって双八元数環は[[合成代数]]を成す。

複素八元数は[[クォーク]]や[[レプトン (素粒子)|レプトン]]の世代を記述するのに用いられた<ref>C. Furey (2016) [https://arxiv.org/abs/1611.09182 Standard Model Physics from an Algebra ?]</ref>。

==脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* J. D. Edmonds (1978) [https://philpapers.org/rec/EDMNCO Nine-vectors, complex octonion/quaternion hypercomplex numbers, Lie groups and the ‘real’ world], [[Foundations of Physics]] 8(3-4): 303–11, {{doi|10.1007/BF00715215}} link from [[PhilPapers]].
* J. Koeplinger & V. Dzhunushaliev (2008) [https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/2008APS..SES.GC002K/abstract "Nonassociative decomposition of angular momentum operator using complex octonions"], presentation at a meeting of the [[American Physical Society]]
* D.G. Kabe (1984) "Hypercomplex Multivariate Normal Distribution", [[Metrika]] 31(2):63−76 {{mr|id=744966}}
* A.A. Eliovich & V.I. Sanyuk (2010) "Polynorms", ''Theoretical and Mathematics Physics'' 162(2) 135−48 {{mr|id=2681963}}

{{Number systems}}
{{DEFAULTSORT:そうはちけんすう}}
[[Category:合成代数]]
[[Category:超複素数系]]
[[Category:数学に関する記事]]