双八元数

数学における双八元数（そうはちげんすう、テンプレート:Lang-en-short）または複素­八元数（ふくそはちげんすう、テンプレート:Lang-en-short）は、テンプレート:Ill2 テンプレート:Mvar の対 テンプレート:Math として与えられる。二つの双八元数の積は、双四元数の乗法と双共軛 (biconjugate) テンプレート:Math を用いて $$(p,q)(r,s):=(pr-s^{*}q,sp+q{r}^{*})$$ と定義される。

• 双八元数 テンプレート:Math の共軛は テンプレート:Math とする。
• 双八元数 テンプレート:Mvar のノルムは テンプレート:Math と定義され、これは八つの項を持つ複素二次形式（エルミート二次形式）である。

双八元数全体の成す多元環（双八元数代数、双八元数環）は、単純に実係数の八元数体のテンプレート:Ill2として導入されることもあるが、抽象代数学においては複素数体・自明な対合・二次形式 テンプレート:Math の三つ組からのケイリー–ディクソン構成の結果として得られる。双八元数環は一般八元数環の一つの例である。

双八元数の任意の対 テンプレート:Mvar に対して $$N(yz)=N(y)N(z)$$ が成り立つから、これにより テンプレート:Mvar は合成可能な二次形式であることが分かり、したがって双八元数環は合成代数を成す。

複素八元数はクォークやレプトンの世代を記述するのに用いられた。

参考文献

• J. D. Edmonds (1978) Nine-vectors, complex octonion/quaternion hypercomplex numbers, Lie groups and the ‘real’ world, Foundations of Physics 8(3-4): 303–11, テンプレート:Doi link from PhilPapers.
• J. Koeplinger & V. Dzhunushaliev (2008) "Nonassociative decomposition of angular momentum operator using complex octonions", presentation at a meeting of the American Physical Society
• D.G. Kabe (1984) "Hypercomplex Multivariate Normal Distribution", Metrika 31(2):63−76 テンプレート:Mr
• A.A. Eliovich & V.I. Sanyuk (2010) "Polynorms", Theoretical and Mathematics Physics 162(2) 135−48 テンプレート:Mr