合成代数

テンプレート:Algebraic structures 数学における体 テンプレート:Mvar 上の合成代数（ごうせいだいすう、テンプレート:Lang）は、テンプレート:Mvar 上の（必ずしも結合的でない）単位的多元環 テンプレート:Mvar で、テンプレート:仮リンク条件

$N(xy)=N(x)N(y)(\mathrm{\forall }x,y\in A)$

を満たす非退化二次形式 テンプレート:Mvar を持つ。合成代数のデータには共軛と呼ばれる対合 テンプレート:Math も含まれる。付随する二次形式は テンプレート:Math として与えられ、しばしばその合成代数のノルムと呼ばれる（その意味で合成代数を「ノルム多元環」ともいうが、関数解析学にいうノルム代数とは同じものでないことに注意）。

合成代数 テンプレート:Math は多元体（ノルム多元体）か、さもなくば分解型多元環 (split algebra) であり、それはヌルベクトル（テンプレート:Math を満たす非零元 テンプレート:Math）の存在によって決まる。実際、ヌルベクトルが全く存在しないとき、非零元 テンプレート:Mvar の乗法逆元は テンプレート:Math が与えるから、その代数は多元体である。他方ヌルベクトルが存在するとき、テンプレート:Mvar は等方二次形式と呼ばれ、その代数は「分裂」(split) する（または分解型 (split type) である）と言う。

合成代数の構造定理

標数テンプレート:Math の体 テンプレート:Mvar 上の単位的合成代数はすべて、テンプレート:Mvar からケーリー＝ディクソンの構成法を繰り返し用いることによって構成できる（標数 テンプレート:Math の場合は テンプレート:Mvar の代わりに二次元の部分合成代数を考えればよい）。合成代数が取りうる次元は テンプレート:Math2 のうちのいずれかに限られる。

• テンプレート:Mvar 上一次元の合成代数が存在するのは標数 テンプレート:Math に限る。
• テンプレート:Mvar 上一次元または二次元の合成代数は可換かつ結合的である。
• テンプレート:Mvar 上二次元の合成代数は、テンプレート:Mvar の二次拡大体か テンプレート:Math のいずれかである。
• テンプレート:Mvar 上四次元の合成代数は結合的だが非可換であり、テンプレート:Mvar 上の（一般）四元数環と呼ばれる。
• テンプレート:Mvar 上八次元の合成代数は非結合的かつ非可換であり、テンプレート:Mvar 上の（一般）八元数環と呼ばれる。

語法を一貫させる場合には、一次元の代数を（一般）一元数環 (unarion algebra) および二次元の代数を（一般）二元数環 (binarion algebra) と呼ぶ。

例と用例

基礎体 テンプレート:Mvar を複素数体 テンプレート:Mathbf として二次形式 テンプレート:Math をノルムに持つものと考えるとき、テンプレート:Mathbf 上の合成代数は テンプレート:Mathbf 自身、双複素数環、テンプレート:仮リンク環（これは複素 テンプレート:Math次正方行列環 テンプレート:Math に同型）、双八元数環（複素八元数環）テンプレート:Math の4種類である。

全行列環 テンプレート:Math は長く興味を持たれた対象で、最初はハミルトン (1853) が双四元数として言及し、後にはそれと同型な行列の形で（特にパウリ代数として）扱われる。

実数体上で平方函数 テンプレート:Math を考えたものは根源的な合成代数を成す。基礎体 テンプレート:Mvar を実数体 テンプレート:Mathbf にとるならば、その上の合成代数は テンプレート:Mathbf の他は6種類しかないテンプレート:Rp。テンプレート:Math2 の各次元において、合成代数は「分解型」と「多元体」の二種類が存在しており、それぞれ分解型複素数環（ノルム テンプレート:Math）と複素数体（ノルム テンプレート:Math）、テンプレート:仮リンク環と四元数体、分解型八元数環と八元数体と呼ばれる。

歴史

平方和の合成則に関する言及は古くからいくつか存在している。ディオファントスは、今日ではブラーマグプタ–フィボナッチの公式と呼ばれる、二つの平方数の和を含む式について記しているが、これは複素数のユークリッドノルムが複素数の積に関して持つ乗法性と見れば事態をはっきりさせることができる。オイラーは1748年に四平方和の公式を論じたが、それは後にハミルトンが四元数の成す四次元多元環を構成することに通じているテンプレート:Rp。1848年にテンプレート:仮リンクが述べられたことで双複素数に初めて光が当てられた。

1818年ごろデンマークの学者フェルディナンド・デゲンが示したテンプレート:仮リンクは、後に八元数体の元のノルムに関連付けられた。

八元数体は、歴史的にはケイリー数全体の成す代数系として、初めて知られた非結合多元環である。ケイリー数は二次形式の合成可能性に関する数論的問題の文脈で生じた。この数論的問題は、ある種の代数系（すなわち合成代数）に関する問題に読み替えることができるテンプレート:Rp。

1919年にディクソンは、それまでの成果を取り纏めてテンプレート:仮リンクの研究を深化させ、二重化の方法を示して四元数からケイリー数を得た。ディクソンは新たな虚数単位 テンプレート:Mvar を導入して、二つの四元数 テンプレート:Math2 に対してケイリー数を テンプレート:Math と書き表した。四元数の共軛を テンプレート:Mvar で表せば、二つのケイリー数の積は

$(q+Qe)(r+Re)=(qr-R^{\prime }Q)+(Rq+Q{r}^{\prime })e$

で与えられる。ケイリー数の共軛は テンプレート:Math で与えられ、付随する二次形式 テンプレート:Math は互いに共軛な二数の積によって与えられる。この二重化法はケイリー–ディクソン構成と呼ばれるようになった。

実合成代数で正定値二次形式をノルムに持つ場合は、1923年にテンプレート:仮リンクで区切りが付けられた。

1931年にマックス・ツォルンはディクソン構成の乗法規則にパラメタ テンプレート:Mvar を導入して分解型八元数環を生成した。テンプレート:仮リンクもまた、1942年に テンプレート:Mvar を用いて、ディクソンの二重化を任意の体で平方函数をノルムとしたものに適用して、各々の二次形式を持つ（一般）二元数・四元数・八元数環が構成できることを示した。テンプレート:仮リンクは1958年に合成代数の自己同型について述べている。

テンプレート:Math および テンプレート:Math 上の古典合成代数は単位的多元環であった。乗法単位元を持たない合成代数は、ハンス・ピーターソン（テンプレート:仮リンク）、大久保進（テンプレート:仮リンク）らによって見出されたテンプレート:Rp。

関連項目

• テンプレート:仮リンク
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参考文献

• テンプレート:Cite book
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• テンプレート:Cite book
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外部リンク

• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:PlanetMath
• テンプレート:Nlab