双対ハーン多項式のソースを表示

{{Math-stub}}
{{出典の明記|date=2014年6月}}
'''双対ハーン多項式'''（そうついはーんたこうしき、{{lang-en|''dual Hahn polynomials''}}）は[[直交多項式]]のひとつで、[[アスキースキーム]]によって体系付けられる<ref name="KS1998"/>。

== 定義 ==
双対ハーン多項式は[[超幾何級数]]を用いて次のように定義される: 
:<math>
R_{n}(\lambda(x); \gamma, \delta, N)={_{3}F_{2}}\left(\begin{matrix}-n,-x,x+\gamma+\delta+1\\ \gamma+1, -N\end{matrix}; 1 \right),\quad x = 0, 1, \ldots, N.
</math>
但し、<math>\lambda(x)=x(x+\gamma+\delta+1)</math> とした。

== 性質 ==
=== 直交関係 ===
<math>\gamma,\,\delta<-1</math> または <math>\gamma,\,\delta<-N</math> に対して以下の直交関係を満たす:
:<math>
  \sum_{x=0}^{N}\frac{(2x+\gamma+\delta+1)(\gamma+1)_{x}(-N)_{x}N!}{(-1)^{x}(x+\gamma+\delta+1)_{N+1}(\delta+1)_{x}N!}R_{m}(\lambda(x); \gamma, \delta, N)R_{n}(\lambda(x); \gamma, \delta, N)
  =\frac{\delta_{mn}}{\binom{\gamma+N}{n}\binom{\delta+N-n}{N-n}}.
</math>
但し、<math>(a)_{n}</math> は[[ポッホハマーの記号]]を表す。

=== 漸化式 ===
以下の[[漸化式]]が成り立つ。
:<math>
  \lambda(x)R_{n}(\lambda(x))=A_{n}R_{n+1}(\lambda(x))-(A_{n}+C_{n})R_{n}(\lambda(x))+C_{n}R_{n-1}(\lambda(x)).
</math>
但し、<math>R_{n}(\lambda(x); \gamma, \delta, N)</math> を <math>R_{n}(\lambda(x))</math> と略記し、
:<math>
\begin{align}
  A_{n}&=(n+\gamma+1)(n-N),\\
  C_{n}&=n(n-\delta-N-1)
\end{align}
</math>
とした。

=== 差分方程式 ===
次の[[差分方程式]]を満たす:
:<math>
  -nR_{n}(\lambda(x))=B(x)R_{n}(\lambda(x+1))-(B(x)+D(x))R_{n}(\lambda(x))+D(x)R_{n}(\lambda(x-1)).
</math>
但し、
:<math>
\begin{align}
  B(x)&=\frac{(x+\gamma+1)(x+\gamma+\delta+1)(N-x)}{(2x+\gamma+\delta+1)(2x+\gamma+\delta+2)},\\
  D(x)&=\frac{x(x+\gamma+\delta+N+1)(x+\delta)}{(2x+\gamma+\delta)(2x+\gamma+\delta+1)}.
\end{align}
</math>

=== ロドリゲスの公式に相当するもの ===
[[ロドリゲスの公式]]に相当する以下の式を満たす:
:<math>
  \omega(x;\gamma,\delta,N)R_{n}(\lambda(x))=(\gamma+\delta+1)_{n}\left(\frac{\nabla}{\nabla\lambda(x)}^{n}\omega(x;\gamma+n,\delta,N-n)\right).
</math>n

=== 母関数 ===
以下の[[母関数]]を持つ:
:*<math>
  (1-t)^{N-x}{_{2}F_{1}}\left(\begin{matrix}-x,-x-\delta\\ \gamma+1\end{matrix}; t \right)
  =\sum_{n=0}^{N}\frac{(-N)_{n}}{n!}R_{n}(\lambda(x); \gamma, \delta, N)t^{n}
</math>
:*<math>
  (1-t)^{x}{_{2}F_{1}}\left(\begin{matrix}x-N,x+\gamma+1\\ -\delta-N\end{matrix}; t \right)
  =\sum_{n=0}^{N}\frac{(\gamma+1)_{n}(-N)_{n}}{(-\delta-N)_{n}n!}R_{n}(\lambda(x); \gamma, \delta, N)t^{n}
</math>
:*<math>
  \left[e^{t}{_{2}F_{2}}\left(\begin{matrix}-x,x+\gamma+\delta+1\\ \gamma+1,-N\end{matrix}; -t \right) \right]_{N}
  =\sum_{n=0}^{N}\frac{1}{n!}R_{n}(\lambda(x); \gamma, \delta, N)t^{n}
</math>
:*<math>
  \left[(1-t)^{\epsilon}{_{3}F_{2}}\left(\begin{matrix}\epsilon,-x,x+\gamma+\delta+1\\ \gamma+1,-N\end{matrix}; \frac{t}{t-1} \right) \right]_{N}
  =\sum_{n=0}^{N}\frac{(\epsilon)_{n}}{n!}R_{n}(\lambda(x); \gamma, \delta, N)t^{n}\quad(\forall\epsilon\in\mathbb{R})
</math>

=== ハーン多項式との関係 ===
{{main |ハーン多項式}}
変数 <math>x</math> と <math>n</math> を交換することによって[[ハーン多項式]] <math>Q_{n}(x;\gamma,\delta,N)</math> が得られる:
:<math>
  R_{x}(\lambda(n); \gamma, \delta, N)=Q_{n}(x;\gamma,\delta,N).
</math>

== 参考文献 ==
{{Reflist | refs=
<ref name="KS1998">{{Cite journal | author=Roelof Koeko | author2=René F. Swarttouw | title=The Askey-scheme of hypergeometric orthogonal polynomials and its q-analogue|url = http://homepage.tudelft.nl/11r49/documents/as98.pdf|publisher=Delft University of Technology, Faculty of Information Technology and Systems, Department of Technical Mathematics and Informatics|volume= 98-17|date=1998}}</ref>
}}

{{DEFAULTSORT:そうついはあんたこうしき}}
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