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''R-''加群''M''の'''双対加群'''（そうついかぐん、{{lang-en-short|''dual module''}}）とは[[数学]]において、''R-''加群''M''に対して、''M''から「''R-''加群として見た''R''」への加群準同型全体が、値ごとの演算によって成す新たな''R-''加群の事である。通常、[[双対ベクトル空間]]の例に倣って<math>M^*</math>あるいは<math>{\mathrm{Hom}}_R (M,R)</math>などと表記される。

== 定義 ==

== 二重双対加群 ==
''R-''加群''M''の双対(''R-'')加群''M<sup>*</sup>''のさらに双対である、

: <math>M^{**} = {\mathrm{Hom}}_R (M^* , R)</math>

のことを''M''の'''二重双対加群'''（にじゅうそうついかぐん、{{lang-en-short|''double dual module''}}）という。
これは、
「加群準同型の全体へと制限された写像空間 ''M<sup>*</sup>⊂ R<sup>M</sup>''」から''R''への
加群準同型全体のなす集合（に値ごとの演算で''R-''加群の構造を入れたもの）
だから、

''M<sup>**</sup>''の元は、
加群準同型 <math> f: M \to R </math> になにかしらの元 <math>a \in R</math> を対応させた写像で

:<math> \phi : M^* \ni f \mapsto a \in R </math>

という形をしている。そこで各 <math>r \in R</math>に対し、
:<math>\phi _ r : M^* \ni f \mapsto f(r) \in R</math>
という写像を考えると、これは''M<sup>*</sup>''から''R''への加群準同型になるので、 

:<math>\forall r\in R: \phi _ r \in M^{**}</math> 。

これに基づいて、写像 <math>\chi : M \to M^{**}</math>を

:<math> \chi(r) \quad\underset{\mathrm{def}}{=}\quad  \phi_r</math>

と定めたとき、<math>\chi</math> もまた加群準同型となり、その直観的にも[[自然変換|圏論的にも自然]]な様から

''R-''加群''M''から''M<sup>**</sup>''への'''正準写像'''（{{lang-en-short| ''canonical map'', }}[[:en: Canonical map]]）あるいは'''自然な写像'''（{{lang-en-short| ''natural map'' }}）と呼ばれる。

== 脚注 ==

== 参考文献 ==
* {{cite book
    |和書
    |author1            = ブルバキ
    |authorlink1        = ニコラ・ブルバキ
    |translator         = 金行壮二、銀林浩
    |year               = 1970
    |title              = [[数学原論]]
    |volume             = 代数 2
    |publisher          = 東京図書
    |id                 = {{NDLDC|1383300|format=NDLJP}}
    |ref                = harv
}}

== 関連項目 ==

== 外部リンク ==

* {{Kotobank|双対}} {{Kotobank|加群}}
{{Authority Control}}
{{Algebra-stub}}
{{DEFAULTSORT:そうついかくん}}
[[Category:加群論]]
[[Category:数学に関する記事]]