双対加群

R-加群Mの双対加群（そうついかぐん、テンプレート:Lang-en-short）とは数学において、R-加群Mに対して、Mから「R-加群として見たR」への加群準同型全体が、値ごとの演算によって成す新たなR-加群の事である。通常、双対ベクトル空間の例に倣って$M^{*}$あるいは${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_R(M,R)$などと表記される。

二重双対加群

R-加群Mの双対(R-)加群M^*のさらに双対である、

$M^{**}={\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_R(M^{*},R)$

のことをMの二重双対加群（にじゅうそうついかぐん、テンプレート:Lang-en-short）という。 これは、 「加群準同型の全体へと制限された写像空間 M^*⊂ R^M」からRへの 加群準同型全体のなす集合（に値ごとの演算でR-加群の構造を入れたもの） だから、

M^**の元は、 加群準同型 $f:M\to R$ になにかしらの元 $a\in R$ を対応させた写像で

$\varphi :M^{*}\ni f\mapsto a\in R$

という形をしている。そこで各 $r\in R$に対し、

${\varphi }_r:M^{*}\ni f\mapsto f(r)\in R$

という写像を考えると、これはM^*からRへの加群準同型になるので、

$\mathrm{\forall }r\in R:{\varphi }_r\in M^{**}$ 。

これに基づいて、写像 $\chi :M\to M^{**}$を

$\chi (r)\underset{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{\varphi }_r$

と定めたとき、$\chi$ もまた加群準同型となり、その直観的にも圏論的にも自然な様から

R-加群MからM^**への正準写像（テンプレート:Lang-en-shorten: Canonical map）あるいは自然な写像（テンプレート:Lang-en-short）と呼ばれる。

参考文献

• テンプレート:Cite book

外部リンク

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