双球座標系のソースを表示

[[ファイル:Bispherical_coordinates.png|右|サムネイル|420x420ピクセル| 双球座標系の図。[[双極座標系]]の2つの焦点を結ぶ軸を中心に回転させることによって得られる。焦点は (''x'', ''y'', ''z'') = (0, 0, ±1)。赤、青''、''黄はそれぞれ ''σ'' = π/4、''τ'' = 1/2、''φ'' = π/3 の等値面である。黒の点は等値面の交点で、 (''x'', ''y'', ''z'') ≈ (0.841, -1.456, 1.239) である。]]

'''双球座標系'''（{{lang-en|bispherical coordinates}}）は3次元の[[直交座標系]]の一つで、2次元の[[双極座標系]]を、2つの[[焦点]]を結ぶ軸を中心に回転させたものである。そのため、双球座標系の2焦点は回転軸上の点として維持される。

== 定義 ==
<math>(x, y, z) = (0, 0, \pm a)</math>（<math>a > 0</math>）を焦点とする双球座標 <math>(\sigma, \tau, \phi)</math> は以下のように定義される：

: <math>\begin{align}
x &= a \ \frac{\sin \sigma}{\cosh \tau - \cos \sigma} \cos \phi, \\
y &= a \ \frac{\sin \sigma}{\cosh \tau - \cos \sigma} \sin \phi, \\
z &= a \ \frac{\sinh \tau}{\cosh \tau - \cos \sigma},
\end{align}</math>

逆変換は

: <math>\begin{align}
\sigma &= \arccos\left(\frac{r^2-a^2}{Q}\right), \\
\tau &= \operatorname{arsinh}\left(\frac{2az}{Q}\right), \\
\phi &= \operatorname{arctan}\left(\frac{y}{x}\right),
\end{align}</math>

で、<math>R=\sqrt{x^2+y^2+z^2}</math>、<math>Q=\sqrt{(R^2+a^2)^2-(2 a z)^2}</math> である。座標 <math>\sigma</math> は焦点 <math>(0, 0, \pm a)</math> で、<math>\phi</math> は ''z'' 軸上で不定となる。

各座標の範囲は

: <math>\begin{align}
\sigma &\in [0, \pi], \\
\tau &\in (-\infty, \infty), \\
\phi &\in [0, 2\pi)
\end{align}</math>

である。

=== 等値面 ===
<math>\sigma</math> の等値面は

: <math>\left( \sqrt{x^2 + y^2} - a \cot \sigma \right)^2 + z^{2} = \frac{a^2}{\sin^2 \sigma}</math>

で表される。<math>0 < \sigma < \pi/2</math> のときはリンゴ（極がへこむ）、<math>\pi/2 < \sigma < \pi</math> のときはレモン（極が尖る）のような形状になり、<math>\sigma = \pi/2</math> のときは球である。なお、<math>\sigma = 0, \pi</math> はそれぞれ ''z'' 軸の <math>|z| \ge a</math>、<math>|z| \le a</math> に対応する。

<math>\tau</math> の等値面は

: <math>x^2 + y^2 + (z - a \coth \tau)^2 = \frac{a^2}{\sinh^2 \tau}</math>

で、<math>0 < |\tau| < \infty</math> のときは交差しない2つの球である。なお、<math>\tau = 0</math> は ''xy'' 平面、<math>\tau = \pm \infty</math> は焦点 <math>(0, 0, \pm a)</math> に対応する。

<math>\phi</math> の等値面は半平面

: <math>y = x \tan \phi</math>

である。

=== 微分 ===
双球座標系の[[ヤコビ行列]]は

: <math>\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(\sigma, \tau, \phi)} = \frac{a}{(\cosh \tau - \cos \sigma)^2}
\begin{bmatrix}
(\cos \sigma \cosh \tau - 1) \cos \phi & \sin \sigma \sinh \tau \cos \phi & -(\cosh \tau - \cos \sigma) \sin \sigma \cos \phi \\
(\cos \sigma \cosh \tau - 1) \sin \phi & \sin \sigma \sinh \tau \sin \phi &  (\cosh \tau - \cos \sigma) \sin \sigma \sin \phi \\
\sin \sigma \sinh \tau & - \cos \sigma \cosh \tau + 1 & 0 \\
\end{bmatrix}</math>

である。したがって[[計量テンソル]]は

: <math>\boldsymbol{g} = \frac{a^2}{(\cosh \tau - \cos \sigma)^2}
\begin{bmatrix}
  1 & 0 & 0 \\
  0 & 1 & 0 \\
  0 & 0 & \sin^2 \sigma \\
\end{bmatrix}</math>

である。
これより、微小体積要素は

: <math>dV =  d\sigma \, d\tau \, d\phi \, \frac{a^3 \sin \sigma}{\left( \cosh \tau - \cos\sigma \right)^3}</math>

となる。また、[[ラプラシアン]]は以下で与えられる：

: <math>\nabla^2 f = \frac{( \cosh \tau - \cos\sigma)^3}{a^2} \left[
\frac{1}{\sin \sigma} \frac{\partial}{\partial \sigma} \left( \frac{\sin \sigma}{\cosh \tau - \cos\sigma} \frac{\partial f}{\partial \sigma} \right)
+ \frac{\partial}{\partial \tau} \left( \frac{1}{\cosh \tau - \cos\sigma} \frac{\partial f}{\partial \tau} \right)
+ \frac{1}{\sin^2 \sigma \left( \cosh \tau - \cos\sigma \right)} \frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2}
\right]</math>

== 応用 ==
双球座標の古典的な応用例は[[偏微分方程式]]である。双球座標系で[[ラプラス方程式]]を[[変数分離]]することはできるが、[[ヘルムホルツ方程式]]は分離できない。たとえば、2つの[[電気伝導体|導体]]球がつくる[[電場]]を双球座標系で解くことができる。

== 参考文献 ==

* {{cite book|author=Morse PM, Feshbach H|year=1953|title=Methods of Theoretical Physics, Part I|publisher=McGraw-Hill|location=New York|pages=665&ndash;666}}
* {{cite book|author=Korn GA, Korn TM|year=1961|title=Mathematical Handbook for Scientists and Engineers|publisher=McGraw-Hill|location=New York|page=182|lccn=59014456}}
* {{cite book|author=Zwillinger D|year=1992|title=Handbook of Integration|publisher=Jones and Bartlett|location=Boston, MA|isbn=0-86720-293-9|page=113}}
* {{cite book|author=Moon PH, Spencer DE|year=1988|chapter=Bispherical Coordinates (η, θ, ψ)|title=Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions|edition=corrected 2nd ed., 3rd print|publisher=Springer Verlag|location=New York|isbn=0-387-02732-7|pages=110&ndash;112 (Section IV, E4Rx)}}

== 外部リンク ==

* [https://mathworld.wolfram.com/BisphericalCoordinates.html Bispherical Coordinates -- from Wolfram MathWorld]

{{DEFAULTSORT:そうきゆうさひようけい}}
[[Category:座標]]
[[Category:数学に関する記事]]