双球座標系

双球座標系の図。双極座標系の2つの焦点を結ぶ軸を中心に回転させることによって得られる。焦点は (x, y, z) = (0, 0, ±1)。赤、青、黄はそれぞれ σ = π/4、τ = 1/2、φ = π/3 の等値面である。黒の点は等値面の交点で、 (x, y, z) ≈ (0.841, -1.456, 1.239) である。

双球座標系（テンプレート:Lang-en）は3次元の直交座標系の一つで、2次元の双極座標系を、2つの焦点を結ぶ軸を中心に回転させたものである。そのため、双球座標系の2焦点は回転軸上の点として維持される。

定義

$(x,y,z)=(0,0,\pm a)$（$a>0$）を焦点とする双球座標 $(\sigma ,\tau ,\varphi )$ は以下のように定義される：

$\begin{array}{cc}x& =a\frac{\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }\cos \varphi ,\\ y& =a\frac{\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }\sin \varphi ,\\ z& =a\frac{\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma },\end{array}$

逆変換は

$\begin{array}{cc}\sigma & =\arccos \left(\frac{r^2-a^2}{Q}\right),\\ \tau & =\mathrm{arsinh}\left(\frac{2az}{Q}\right),\\ \varphi & =\arctan \left(\frac{y}{x}\right),\end{array}$

で、$R=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$、$Q=\sqrt{(R^2+a^2{)}^2-(2az{)}^2}$ である。座標 $\sigma$ は焦点 $(0,0,\pm a)$ で、$\varphi$ は z 軸上で不定となる。

各座標の範囲は

$\begin{array}{cc}\sigma & \in [0,\pi ],\\ \tau & \in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }),\\ \varphi & \in [0,2\pi )\end{array}$

である。

等値面

$\sigma$ の等値面は

${(\sqrt{x^2+y^2}-a\cot \sigma )}^2+z^2=\frac{a^2}{{\sin }^2\sigma }$

で表される。$0<\sigma <\pi /2$ のときはリンゴ（極がへこむ）、$\pi /2<\sigma <\pi$ のときはレモン（極が尖る）のような形状になり、$\sigma =\pi /2$ のときは球である。なお、$\sigma =0,\pi$ はそれぞれ z 軸の $|z|\ge a$、$|z|\le a$ に対応する。

$\tau$ の等値面は

$x^2+y^2+(z-a\coth \tau {)}^2=\frac{a^2}{{\sinh }^2\tau }$

で、$0<|\tau |<\mathrm{\infty }$ のときは交差しない2つの球である。なお、$\tau =0$ は xy 平面、$\tau =\pm \mathrm{\infty }$ は焦点 $(0,0,\pm a)$ に対応する。

$\varphi$ の等値面は半平面

$y=x\tan \varphi$

である。

微分

双球座標系のヤコビ行列は

$\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (\sigma ,\tau ,\varphi )}=\frac{a}{(\cosh \tau -\cos \sigma {)}^2}\left[\begin{array}{ccc}(\cos \sigma \cosh \tau -1)\cos \varphi & \sin \sigma \sinh \tau \cos \varphi & -(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma \cos \varphi \\ (\cos \sigma \cosh \tau -1)\sin \varphi & \sin \sigma \sinh \tau \sin \varphi & (\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma \sin \varphi \\ \sin \sigma \sinh \tau & -\cos \sigma \cosh \tau +1& 0\end{array}\right]$

である。したがって計量テンソルは

$𝒈=\frac{a^2}{(\cosh \tau -\cos \sigma {)}^2}\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& {\sin }^2\sigma \end{array}\right]$

である。 これより、微小体積要素は

$dV=d\sigma d\tau d\varphi \frac{a^3\sin \sigma }{{(\cosh \tau -\cos \sigma )}^3}$

となる。また、ラプラシアンは以下で与えられる：

${\mathrm{\nabla }}^{2}f=\frac{(\cosh \tau -\cos \sigma {)}^3}{a^2}[\frac{1}{\sin \sigma }\frac{\partial }{\partial \sigma }\left(\frac{\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }\frac{\partial f}{\partial \sigma }\right)+\frac{\partial }{\partial \tau }\left(\frac{1}{\cosh \tau -\cos \sigma }\frac{\partial f}{\partial \tau }\right)+\frac{1}{{\sin }^2\sigma (\cosh \tau -\cos \sigma )}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\varphi }^2}]$

応用

双球座標の古典的な応用例は偏微分方程式である。双球座標系でラプラス方程式を変数分離することはできるが、ヘルムホルツ方程式は分離できない。たとえば、2つの導体球がつくる電場を双球座標系で解くことができる。

参考文献

• テンプレート:Cite book
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外部リンク

• Bispherical Coordinates -- from Wolfram MathWorld