双1次曲面のソースを表示

{{出典の明記|date=2015年5月17日 (日) 04:18 (UTC)}}
[[File:Bilinear3.PNG|thumb|Bilinear surface]]
'''双1次曲面'''（そういちじきょくめん）とは、4つの制御点から作成される[[曲面]]である。CAD/CGでは形状の定義,FEMなどのシュミューレーションでは値の積分や補間などに使用される。

==一般式1==
曲面<math>S</math>は，<math>u</math>,<math>v</math>の2つのパラメータで定義される。曲面<math>S</math>上の点は，以下の式で表現される。
:<math> S(u,v)=(1-u)(1-v)P_{0} + u(1-v)P_{1} + (1-u)vP_{3} +   uvP_{2} </math>
パラメータ<math>u</math>,<math>v</math>の範囲は，以下の通り。定義した4点の面内の任意の場所は，このパラメータ定義域内で表現できる。
:<math>0 \leqq u \leqq 1 ,0 \leqq v \leqq 1</math> 

===偏微分===
:<math>u</math>方向および<math>v</math>方向の偏微分は,以下の通り。
:<math>\frac{\partial S}{\partial u} = (v-1)P_{0} + (1-v)P_{1} + (-v)P_{2} + (v)P_{3} </math>
:<math>\frac{\partial S}{\partial v} = (u-1)P_{0} + (-u)P_{1} + (1-u)P_{2} + (u)P_{3} </math>

===点の射影 ===
[[File:Bilinear4.PNG|thumb|Projecting point on a surface]]

任意の点<math>P</math>を双1次曲面上に射影するには,任意点<math>P</math>の曲面上の距離が最小になる点を選択する。一般に次式を2変数の[[ニュートン法]]を使用して解き，双1次曲面上のu,vの値を得る。

:<math>F(u,v)=|S(u,v) - P |^2</math> <br>
:<math>\frac{\partial F}{\partial u} = \frac{\partial S}{\partial u}\cdot{(S(u,v)-P)} = 0 </math>
<br>
:<math>\frac{\partial F}{\partial v} = \frac{\partial S}{\partial v}\cdot{(S(u,v)-P)}  = 0 </math>

==一般式2==
FEMなどのシュミューレーションでは，CADやCGとパラメータの定義域が異なることが多いが,一般式1と同じ結果が得られる。
:<math> S(u,v)=N_{0}P_{0} + N_{1}P_{1} + N_{2}P_{2} + N_{3}P_{3}  </math>
:<math> N_{0} =  {1 \over 4} (1-u)(1-v) </math>
:<math> N_{1} =  {1 \over 4} (1+u)(1-v) </math>
:<math> N_{2} =  {1 \over 4} (1+u)(1+v) </math>
:<math> N_{3} =  {1 \over 4} (1-u)(1+v) </math>
パラメータ<math>u</math>,<math>v</math>の範囲は，以下の通り。
:<math>-1 \leqq u \leqq 1 ,-1 \leqq v \leqq 1</math> 

===偏微分===

<math>u</math>方向および<math>v</math>方向の偏微分は,以下の通り。
:<math>\frac{\partial N_{0} }{\partial u} = - {1 \over 4}(1 - v) </math>
:<math>\frac{\partial N_{1} }{\partial u} =   {1 \over 4}(1 - v) </math>
:<math>\frac{\partial N_{2} }{\partial u} =   {1 \over 4}(1 + v) </math>
:<math>\frac{\partial N_{3} }{\partial u} = - {1 \over 4}(1 + v) </math>
<br>
:<math>\frac{\partial N_{0} }{\partial v} = - {1 \over 4}(1 - u) </math>
:<math>\frac{\partial N_{1} }{\partial v} = - {1 \over 4}(1 + u) </math>
:<math>\frac{\partial N_{2} }{\partial v} =     {1 \over 4}(1 + u) </math>
:<math>\frac{\partial N_{3} }{\partial v} =    {1 \over 4}(1 - u) </math>

==外部リンク==
*[https://web.archive.org/web/20101105110044/http://www.geocities.jp/supermisosan/twovariablesnewtonhou.pdf] 2変数のニュートン法.

== 関連項目 ==
* [[曲面]]

{{デフォルトソート:そういちしきよくめん}}
[[Category:曲面]]
[[Category:数学に関する記事]]