双1次曲面

Bilinear surface

双1次曲面（そういちじきょくめん）とは、4つの制御点から作成される曲面である。CAD/CGでは形状の定義,FEMなどのシュミューレーションでは値の積分や補間などに使用される。

一般式1

曲面$S$は，$u$,$v$の2つのパラメータで定義される。曲面$S$上の点は，以下の式で表現される。

$S(u,v)=(1-u)(1-v)P_0+u(1-v)P_1+(1-u)v{P}_3+uv{P}_2$

パラメータ$u$,$v$の範囲は，以下の通り。定義した4点の面内の任意の場所は，このパラメータ定義域内で表現できる。

$0\leqq u\leqq 1,0\leqq v\leqq 1$

偏微分

$u$方向および$v$方向の偏微分は,以下の通り。

$\frac{\partial S}{\partial u}=(v-1)P_0+(1-v)P_1+(-v)P_2+(v)P_3$

$\frac{\partial S}{\partial v}=(u-1)P_0+(-u)P_1+(1-u)P_2+(u)P_3$

点の射影

Projecting point on a surface

任意の点$P$を双1次曲面上に射影するには,任意点$P$の曲面上の距離が最小になる点を選択する。一般に次式を2変数のニュートン法を使用して解き，双1次曲面上のu,vの値を得る。

$F(u,v)=|S(u,v)-P{|}^2$

$\frac{\partial F}{\partial u}=\frac{\partial S}{\partial u}\cdot (S(u,v)-P)=0$

$\frac{\partial F}{\partial v}=\frac{\partial S}{\partial v}\cdot (S(u,v)-P)=0$

一般式2

FEMなどのシュミューレーションでは，CADやCGとパラメータの定義域が異なることが多いが,一般式1と同じ結果が得られる。

$S(u,v)=N_0{P}_0+N_1{P}_1+N_2{P}_2+N_3{P}_3$

$N_0=\frac{1}{4}(1-u)(1-v)$

$N_1=\frac{1}{4}(1+u)(1-v)$

$N_2=\frac{1}{4}(1+u)(1+v)$

$N_3=\frac{1}{4}(1-u)(1+v)$

パラメータ$u$,$v$の範囲は，以下の通り。

$-1\leqq u\leqq 1,-1\leqq v\leqq 1$

偏微分

$u$方向および$v$方向の偏微分は,以下の通り。

$\frac{\partial N_0}{\partial u}=-\frac{1}{4}(1-v)$

$\frac{\partial N_1}{\partial u}=\frac{1}{4}(1-v)$

$\frac{\partial N_2}{\partial u}=\frac{1}{4}(1+v)$

$\frac{\partial N_3}{\partial u}=-\frac{1}{4}(1+v)$

$\frac{\partial N_0}{\partial v}=-\frac{1}{4}(1-u)$

$\frac{\partial N_1}{\partial v}=-\frac{1}{4}(1+u)$

$\frac{\partial N_2}{\partial v}=\frac{1}{4}(1+u)$

$\frac{\partial N_3}{\partial v}=\frac{1}{4}(1-u)$

外部リンク

• [1] 2変数のニュートン法.

関連項目

• 曲面