反傾表現のソースを表示

<math>G</math> が[[群 (数学)|群]]で、<math>\rho</math> が[[ベクトル空間]] <math>V</math> 上の <math>G</math> の[[線型表現]]であるとき、'''反傾表現'''（はんけいひょうげん、{{lang-en-short|contragredient representation}}）あるいは'''双対表現'''（そうついひょうげん、{{lang-en-short|dual representation}}）<math>\rho^*</math> は以下のようにして[[双対ベクトル空間]] <math>V^*</math> 上定義される<ref>Lecture 1 of {{Fulton-Harris}}, [https://books.google.fr/books?id=6GUH8ARxhp8C&pg=PA4 p. 4]</ref>：

:<math>\rho^*(g)</math> は <math>\rho\left(g^{-1}\right)</math> の[[線型写像の転置|転置]]である、つまり、すべての <math>g\in G</math> に対して <math>\rho^*(g)=\rho\left(g^{-1}\right)^T</math> である。

<math>\mathfrak{g}</math> が[[リー代数|リー環]]で <math>\pi</math> がベクトル空間 <math>V</math> 上のその表現であれば、反傾表現 <math>\pi^*</math> は以下のようにして双対ベクトル空間 <math>V^*</math> 上定義される<ref>Lecture 8 of {{Fulton-Harris}}, [https://books.google.fr/books?id=6GUH8ARxhp8C&pg=PA111 p. 111]</ref>：

:すべての <math>X\in\mathfrak{g}</math> に対して <math>\pi^*(X)=-\pi(X)^T</math> である。

いずれの場合にも、反傾表現は通常の意味での表現である。

[[ユニタリ表現]]に対しては、反傾表現は{{仮リンク|共役表現|fr|représentation conjuguée}}と等しい。

== 動機付け ==
表現論において、<math>V</math> のベクトルと <math>V^*</math> の線型汎関数はいずれも''列ベクトル''と考え、したがって表現は''左''から（行列の乗法によって）作用できる。線型汎関数 <math>\varphi</math> の <math>v\in V</math> への作用 <math>\varphi(v)</math> は行列の乗法
:<math>\left\langle\varphi, v\right\rangle \equiv \varphi(v) = \varphi^Tv</math>
によって表現できる。ただし上付きの <math>T</math> は行列の転置を表す。群<math>G</math>の作用と整合的であるためには
:<math>\left\langle\rho^*(g)\varphi, \rho(g)v\right\rangle = \left\langle\varphi, v\right\rangle</math>
が要求される<ref>Lecture 1, page 4 of {{Fulton-Harris}}</ref>。反傾表現の定義から、
:<math>\left\langle{\rho}^*(g)\varphi, \rho(g)v\right\rangle = \left\langle\rho\left(g^{-1}\right)^T\varphi, \rho(g)v\right\rangle = \left(\rho\left(g^{-1}\right)^T\varphi\right)^T \rho(g)v = \varphi^T\rho\left(g^{-1}\right)\rho(g)v = \varphi^Tv = \left\langle\varphi, v\right\rangle</math>
となり、整合性を持つことが確かめられる。

リー環の表現に対しては、対応するリー群の表現との整合性を課す。一般に、<math>\Pi</math> がリー群の表現であれば、
:<math>\pi(X) = \left.\frac{d}{dt}\Pi\left(e^{tX}\right)\right|_{t = 0}</math>
によって与えられる <math>\pi</math> はそのリー環の表現である。<math>\Pi^*</math> が <math>\Pi</math> に双対であれば、その対応するリー環の表現 <math>\pi^*</math> は、
:<math>\pi^*(X) = \left.\frac{d}{dt}\Pi^*\left(e^{tX}\right)\right|_{t = 0} = \left.\frac{d}{dt}\Pi\left(e^{-tX}\right)^T\right|_{t = 0} = -\pi(X)^T</math>
で与えられる<ref>Lecture 8, page 111 of {{Fulton-Harris}}</ref>。

==一般化==
* 群 <math>G</math> の2つの表現 <math>\left(\rho_1,V_1\right)</math> と <math>\left(\rho_2,V_2\right)</math> から、次のようにして <math>\operatorname{Hom}\left(V_1,V_2\right)</math> 上の <math>G</math> の表現 <math>\operatorname{Hom}\left(\rho_1,\rho_2\right)=\rho</math> が定義される<ref>A. Chambert-Loir, [http://perso.univ-rennes1.fr/antoine.chambert-loir/2004-05/lie/lie.pdf Introduction aux groupes et algèbres de Lie], cours de [[Master (France)|master]] 2 à l'[[université de Rennes 1]] (2004-2005), p. 21</ref>：
::すべての <math>g\in G</math> とすべての <math>f\in\operatorname{Hom}\left(V_1,V_2\right)</math> に対して、<math>\rho(g)(f)=\rho_2(g)\circ f\circ\rho_1\left(g^{-1}\right)</math>。
:反傾表現は、<math>\left(\rho_2,V_2\right)</math> が自明表現の場合である。
*[[環上の加群]]<!--（[[アーベル群]]上のこの環の表現と見て）-->は一般には反傾表現を持たないが、[[ホップ代数]]上の加群は持つ。

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|複素共役表現|en|Complex conjugate representation}}
* {{仮リンク|キリロフの指標公式|en|Kirillov Character Formula}}

== 参考文献 ==
<references/>

{{DEFAULTSORT:はんけいひようけん}}
[[Category:群の表現論]]
[[Category:表現論]]
[[Category:リー環論]]
[[Category:数学に関する記事]]