反対圏のソースを表示

[[圏論]]という[[数学]]の分野において，与えられた圏 {{mvar|C}} の'''反対圏'''（はんたいけん，{{lang-en-short|opposite category}}），'''逆圏'''（ぎゃくけん）あるいは'''双対圏'''（そうついけん，{{lang-en-short|dual category}}）{{math|''C''<sup>op</sup>}} は[[射 (圏論)|射]]を逆にする，つまり，各射の始域と終域を交換することによって作られる．逆にする操作を2回やるともとの圏になるので，逆圏の逆圏はもとの圏自身である．記号で書けば，<math>(C^{\text{op}})^{\text{op}} = C</math> である．

==例==
* 例の1つは[[半順序]]の不等式の向きを逆にして得られる．つまり {{mvar|X}} が[[集合]]で {{math|≤}} が半順序関係のとき，新しい半順序関係 {{math|≤<sub>new</sub>}} を

:: {{math|''x'' ≤<sub>new</sub> ''y''  ⇔  ''y'' ≤ ''x''}}

:によって定義できる．例えば，子と親，あるいは子孫と先祖という逆のペアがある．

*[[ブール代数]]とその[[準同型]]の圏は{{仮リンク|ストーン空間|en|Stone space}}と連続写像の圏の逆圏と[[圏同値|同値]]である．
* [[アフィーンスキーム]]の圏は[[可換環]]の圏の逆圏と同値である．
* [[ポントリャーギン双対性]]を制限して[[コンパクト空間|コンパクト]][[ハウスドルフ空間]][[ハウスドルフ]][[アーベル群|可換]][[位相群]]の圏と（離散）アーベル群の圏の逆圏の間の同値を得る．
* Gelfand–Neumark の定理により，局所化可能な[[σ代数|可測空間]]（と[[可測関数]]）の圏は可換[[フォン・ノイマン環]]（と *-環の[[正規作用素|正規]]{{仮リンク|単位的写像|label=単位的|en|Unital map}}準同型）の圏と同値である<ref name=MO1>{{cite web|url=http://mathoverflow.net/questions/20740/is-there-an-introduction-to-probability-theory-from-a-structuralist-categorical-p|title=Is there an introduction to probability theory from a structuralist/categorical perspective?|publisher=MathOverflow|accessdate=25 October 2010}}</ref>．<!--逆圏？-->

==性質==
逆は積を保つ：
:<math>(C\times D)^{\text{op}} \cong C^{\text{op}}\times D^{\text{op}}</math> ({{仮リンク|積圏|en|product category}}を参照)

逆は[[関手]]を保つ：
:<math>(\mathrm{Funct}(C,D))^{\text{op}} \cong \mathrm{Funct}(C^{\text{op}},D^{\text{op}})</math><ref>H. Herrlich, G. E. Strecker, ''Category Theory'', 3rd Edition, Heldermann Verlag, ISBN 978-3-88538-001-6, p. 99.</ref><ref>O. Wyler, ''Lecture Notes on Topoi and Quasitopoi'', World Scientific, 1991, p. 8.</ref> ([[関手圏]]，{{仮リンク|逆関手|en|opposite functor}}を参照)

逆は slice を保つ：
:<math>(F\downarrow G)^{\text{op}} \cong (G^{\text{op}}\downarrow F^{\text{op}})</math> ([[コンマ圏]]を参照)

==関連項目==
* {{仮リンク|双対対象|en|Dual object}}
* [[双対 (圏論)]]
* [[双対]]
* [[随伴関手]]
* [[反変関手]]
* {{仮リンク|逆関手|en|Opposite functor}}

==参考文献==
{{Reflist}}

* {{nlab|id=opposite+category|title=Opposite category}}

{{圏論}}

{{DEFAULTSORT:はんたいけん}}
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:圏の類]]