反対圏

圏論という数学の分野において，与えられた圏 テンプレート:Mvar の反対圏（はんたいけん，テンプレート:Lang-en-short），逆圏（ぎゃくけん）あるいは双対圏（そうついけん，テンプレート:Lang-en-short）テンプレート:Math は射を逆にする，つまり，各射の始域と終域を交換することによって作られる．逆にする操作を2回やるともとの圏になるので，逆圏の逆圏はもとの圏自身である．記号で書けば，$(C^{\text{op}}{)}^{\text{op}}=C$ である．

例

• 例の1つは半順序の不等式の向きを逆にして得られる．つまり テンプレート:Mvar が集合で テンプレート:Math が半順序関係のとき，新しい半順序関係 テンプレート:Math を

テンプレート:Math

によって定義できる．例えば，子と親，あるいは子孫と先祖という逆のペアがある．

• ブール代数とその準同型の圏はテンプレート:仮リンクと連続写像の圏の逆圏と同値である．
• アフィーンスキームの圏は可換環の圏の逆圏と同値である．
• ポントリャーギン双対性を制限してコンパクトハウスドルフ空間ハウスドルフ可換位相群の圏と（離散）アーベル群の圏の逆圏の間の同値を得る．
• Gelfand–Neumark の定理により，局所化可能な可測空間（と可測関数）の圏は可換フォン・ノイマン環（と *-環の正規テンプレート:仮リンク準同型）の圏と同値である．

性質

逆は積を保つ：

$(C\times D{)}^{\text{op}}\cong C^{\text{op}}\times D^{\text{op}}$ (テンプレート:仮リンクを参照)

逆は関手を保つ：

$(\mathrm{F}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{t}(C,D){)}^{\text{op}}\cong \mathrm{F}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{t}(C^{\text{op}},D^{\text{op}})$ (関手圏，テンプレート:仮リンクを参照)

逆は slice を保つ：

$(F\downarrow G{)}^{\text{op}}\cong (G^{\text{op}}\downarrow F^{\text{op}})$ (コンマ圏を参照)

関連項目

• テンプレート:仮リンク
• 双対 (圏論)
• 双対
• 随伴関手
• 反変関手
• テンプレート:仮リンク

参考文献

• テンプレート:Nlab