反対称テンソルのソースを表示

[[数学]]および[[理論物理学]]において、[[テンソル]]が添字の対に関して'''反対称''' (''anti&shy;symmetric'') もしくは'''歪対称''' (skew-symmertic) であるとは、それら添字の入れ替えに関して[[正負|符号]]が反転することを言う。また、'''交代的''' (''alternating'') であるとは、それらを等しいと置いたとき零になることを言う。{{仮リンク|係数体|en|base field}}の[[標数]]が {{math|2}} でないときこれら二つの概念は一致する（[[多重線型写像]]の項も参照）。
* 反対称: {{math|''T''{{ind|…''i''…''j''…}} {{=}} &minus;''T''{{ind|…''j''…''i''…}}}}
* 交代: {{math|''i''{{ind|k}} {{=}} ''i''{{ind|''j''}} ⇒ ''T''{{ind|…''i''{{ind|''k''}}…''i''{{ind|''j''}}…}} {{=}} 0}}

もう少し一般に、添字集合の部分集合 {{mvar|J}} に関して反対称（resp. 交代的）とは、{{mvar|J}} の任意の二元に関して反対称（resp. 交代的）となるときに言う<ref>{{cite book| author=K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence| title=Mathematical methods for physics and engineering| publisher=Cambridge University Press| year=2010 | isbn=978-0-521-86153-3}}</ref><ref>{{cite book| author=Juan Ramón Ruíz-Tolosa, Enrique Castillo| title=From Vectors to Tensors | publisher=Springer| year=2005| isbn=978-3-540-22887-5 |url=https://books.google.co.za/books?id=vgGQUrQMzwYC&pg=PA225 |page=225}} section §7.</ref>。添字については、一般に共変添字 (covariant) も反変添字 (contra&shy;variant) も考えるものとする。例えば最初の三文字に関して反対称なテンソルとは
: <math>T_{ijk\dots} = -T_{jik\dots} = T_{jki\dots} = -T_{kji\dots} = T_{kij\dots} = -T_{ikj\dots}</math>
を満足するものである。

任意の添字の[[互換 (数学)|対の入れ替え]]に関して符号を反転するテンソルは'''完全反対称''' (completely anti&shy;symmetric)（もしくは全反対称 (totally anti&shy;symmetric)）あるいは単に'''反対称テンソル'''（はんたいしょうテンソル、{{lang-en-short|''anti&shy;symmetric tensor''}}）と言う。同様に任意の添え字の対に関して交代的なテンソルを'''交代テンソル'''（こうたいテンソル、{{lang-en-short|''alternating tensor''}}）という。{{mvar|p}}-次の完全反対称（あるいは交代）共変テンソルは [[微分形式|{{mvar|p}}-形式]]、完全反対称（あるいは交代）反変テンソルは {{仮リンク|多重ベクトル|label= {{mvar|p}}-ベクトル|en|multivector}}と呼ばれる。

== 例 ==
反対称テンソルの例には以下のようなものが挙げられる:
* [[電磁気学]]における[[電磁テンソル]] {{math|''F''{{ind|&mu;&nu;}}}}.
* [[擬リーマン多様体]]上の{{仮リンク|リーマン体積形式|en|Riemannian volume form}}.

== 定義 ==
[[ベクトル空間]] {{mvar|V}} に対し、その {{mvar|k}}-次[[テンソル冪]] {{math|''V''{{exp|&otimes;''k''}}}} を考える。{{mvar|k}}-次（または {{mvar|k}}-階）テンソル {{math|''T'' &isin; ''V''{{exp|&otimes;''k''}}}} が（完全）'''反対称'''であるとは
: <math>\tau_\sigma T = \sgn(\sigma)T\quad (\forall\sigma\in\mathfrak{S}_k)</math>
を満たすことをいう<ref>{{harvnb|横沼|loc=定義 2.2|p=52}}</ref>。ここで {{mvar|&tau;{{ind|σ}}}} は記号 {{math|{{mset|1, 2, …, ''k''}}}} の置換 {{math|σ &isin; 𝔖{{ind|''k''}}}} に付随するテンソルの[[テンソル積|組み紐写像]]、{{math|sgn(σ)}} は {{mvar|σ}} の[[置換の符号|符号]]である。

{{mvar|V}} の[[基底 (線型代数学)|基底]] {{math|{{mset|''e''{{ind|''i''}}}}}} を取り、{{mvar|k}}-次反対称テンソル {{mvar|T}} を適当な係数を用いて
: <math>T = \sum_{i_1,\dots,i_k=1}^N T_{i_1i_2\dots i_k} e^{i_1} \otimes e^{i_2}\otimes\cdots \otimes e^{i_k}</math>
の形に書けば、この基底に関する {{mvar|T}} の成分 {{math|''T''{{msub|''i''{{ind|1}}''i''{{ind|2}}…''i''{{ind|''k''}}}}}} はその添字の任意の[[互換 (数学)|互換]] に関して符号を変える、すなわち
: <math>T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\dots i_{\sigma k}} = \sgn(\sigma)T_{i_1i_2\dots i_k}</math>
が任意の置換 {{mvar|σ}} について満足される。

{{mvar|V}} 上の {{mvar|k}}-次反対称テンソル全体の成す空間は、しばしば {{math|''A''{{msup|''k''}}(''V'')}} や {{math|Alt{{msup|''k''}}(''V'')}} で表される。{{math|''A''{{msup|''k''}}(''V'')}} はそれ自身ベクトル空間を成し、また {{mvar|V}} が {{mvar|N}}-次元ならば {{math|Alt{{msup|''k''}}(''V'')}} の次元は[[二項係数]]を用いて
: <math>\dim \operatorname{Alt}^k(V) = {N \choose k}</math>
で与えられる<ref>{{harvnb|横沼|loc=命題2.7}}</ref>。反対称テンソル空間 {{math|Alt(''V'')}} は {{math|''k'' {{=}} 0, 1 ,2, …}} に対する {{math|Alt{{msup|''k''}}(''V'')}} の[[ベクトル空間の直和|直和]]
: <math>\operatorname{Alt}(V)= \bigoplus_{k=0}^\infty \operatorname{Alt}^k(V)</math>
として構成される。

== テンソルの反対称成分{{anchors|反対称化作用素|交代化作用素|反対称成分|交代成分}} ==
{{mvar|V}} は[[標数]] {{math|0}} の体上のベクトル空間とする。{{math|''T'' &isin; ''V''{{exp|&otimes;''k''}}}} を {{mvar|k}}-次テンソルとすれば、{{mvar|T}} の反対称成分（交代成分）
は、符号付き平均化（反対称化、交代化）
: <math>\operatorname{Alt} T = \frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_k} \sgn(\sigma)\tau_\sigma T</math>
によって与えられる反対称テンソルである。和は {{mvar|k}}-次[[対称群]]の全体を亙ってとる。明らかに、{{math|''T'' &isin; ''V''{{exp|&otimes;''k''}}}} が反対称テンソルであるための必要十分条件は {{math|Alt(''T'') {{=}} ''T''}} を満たすことである<ref>{{harvnb|横沼|p=54}}</ref>。

基底をとって考えれば、[[アインシュタインの和の規約|和の規約]]を用いて
: <math>T = T_{i_1i_2\dots i_k}e^{i_1}\otimes e^{i_2}\otimes\cdots \otimes e^{i_k}</math>
と書くとき、{{mvar|T}} の反対称成分は
: <math>\operatorname{Alt} T = \frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_k} \sgn(\sigma)T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\dots i_{\sigma k}} e^{i_1}\otimes e^{i_2}\otimes\cdots \otimes e^{i_k}</math>
と書ける。右辺に現れるテンソル成分は、しばしば対称化する添字を[[ブラケット|角括弧]]で括って
: <math>T_{[i_1i_2\dots i_k]} = \frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_k} \sgn(\sigma)T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\dots i_{\sigma k}}</math>
とも書かれる。例えば、{{mvar|V}} の次元は任意として、二階共変テンソル {{mvar|M}} に対し
: <math>M_{[ab]} = \frac{1}{2!}(M_{ab} - M_{ba})</math>
であり、また三階共変テンソル {{mvar|T}} に対して
: <math>T_{[abc]} = \frac{1}{3!}(T_{abc}-T_{acb}+T_{bca}-T_{bac}+T_{cab}-T_{cba})</math>
と書ける。これはまた適当な階数の{{仮リンク|一般化されたクロネッカーのデルタ|en|generalized Kronecker delta}}
を用いて、
: <math>M_{[ab]} = \frac{1}{2!} \, \delta_{ab}^{cd} M_{cd} ,</math>
: <math>T_{[abc]} = \frac{1}{3!} \, \delta_{abc}^{def} T_{def}</math>
と書くことができる。これは一般に、{{mvar|p}}-次テンソル {{mvar|S}} に対して
: <math>S_{[a_1 \dots a_p]} = \frac{1}{p!} \delta_{a_1 \dots a_p}^{b_1 \dots b_p} S_{b_1 \dots b_p} </math>
の形にまとめることができる。

== 交代テンソル積 ==
{{seealso|外積代数#交代テンソル代数}}
単純テンソル {{mvar|T}} をテンソル積
: <math>T=v_1\otimes v_2\otimes\cdots \otimes v_r</math>
として書くとき、{{mvar|T}} の交代成分はその因子ベクトルの交代積（楔積）あるいは[[外積代数|外積]]
: <math>v_1\wedge v_2\wedge\cdots\wedge v_r := \frac{1}{r!}\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_r} \sgn(\sigma)v_{\sigma 1}\otimes v_{\sigma 2}\otimes\cdots\otimes v_{\sigma r}</math>
と呼ばれる<ref>{{harvnb|横沼|loc=§3.1}}</ref>。一般に、交代テンソル空間 {{math|Alt(''V'')}} に[[反対称]]かつ結合的な積 "{{math|&and;}}" を入れて[[体上の多元環|多元環]]にすることができる。二つのテンソル {{math|''T''{{ind|1}} &isin; Alt{{msup|''k''{{ind|1}}}}(''V''), ''T''{{ind|2}} &isin; Alt{{msup|''k''{{ind|2}}}}(''V'')}} が与えられたとき、交代化作用素を用いて
: <math>T_1\wedge T_2 = \operatorname{Alt}(T_1\otimes T_2)\quad\left(\in\operatorname{Alt}^{k_1+k_2}(V)\right)</math>
と定義すれば、これが実際に反対称かつ結合的であることが確かめられる。

== 対称テンソルとの関係 ==
添字 {{mvar|i, j}} に関して反対称なテンソル {{mvar|A}} と、同じ添字に関して対称なテンソル {{mvar|B}} との[[テンソルの縮約|縮約]]は恒等的に {{mvar|0}} に等しい。

一般のテンソル {{mvar|U}} に対して、その成分を {{mvar|U{{ind|ijk…}}}} とするとき、添字 {{mvar|i, j}} に関する対称成分および反対称成分
: <math>\begin{align}
 U_{(ij)k\dots} &=\tfrac{1}{2}(U_{ijk\dots}+U_{jik\dots}),\\
 U_{[ij]k\dots} &=\tfrac{1}{2}(U_{ijk\dots}-U_{jik\dots})
\end{align}</math>
に関して、（「成分」の名の示唆する通り）テンソル {{mvar|U}} は
: <math>U_{ijk\dots}=U_{(ij)k\dots}+U_{[ij]k\dots}</math>
なる和に分解される。

== 関連項目 ==
* [[レヴィ゠チヴィタ記号]]
* [[対称テンソル]]
* [[反対称行列]]
* [[外積代数]]
* {{仮リンク|リッチ計算法|en|Ricci calculus}}{{refn|group="注"|{{cite journal|和書 |author=矢野健太郎 |year=1971 |url=https://doi.org/10.11429/sugaku1947.23.101 |title=幾何学部門報告 |journal=数学 |ISSN=0039470X |publisher=日本数学会 |volume=23 |issue=2 |page=103, 左上 |doi=10.11429/sugaku1947.23.101 |CRID=1390001205067286016}}に「リッチ計算法」と書かれているためこの訳を採用}}

== 引用文献 ==
{{reflist}}

==注==
{{reflist|group="注"}}

== 参考文献 ==
* {{cite book|和書| author= 横沼健雄 | title= テンソル空間と[[外積代数]] | series= [[岩波講座]]: 基礎数学 | publisher= [[岩波書店]] | year= 1977 |ref={{harvid|横沼}}}}
* {{cite book |pages=85–86, §3.5| author=J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne| title=[[Gravitation (book)|Gravitation]]| publisher=W.H. Freeman & Co| year=1973 | isbn=0-7167-0344-0}}
* {{cite book |author=R. Penrose| title=[[The Road to Reality]]| publisher= Vintage books| year=2007 | isbn=0-679-77631-1}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld | urlname= AntisymmetricTensor | title= Antisymmetric Tensor}}
* {{citation| url=http://daisy.math.sci.ehime-u.ac.jp/users/tsuchiya/math/fem/exterior/section2.pdf | author=土屋卓也 | title= 有限要素外積代数とその応用 | chapter= 2. 交代テンソル積と外積代数 | postscript= &nbsp;: 愛媛大学大学院理工学研究科「数理科学特論」講義ノート | year=2010}}

{{tensors}}

{{DEFAULTSORT:はんたいしようてんそる}}
[[Category:テンソル]]
[[Category:多重線型代数]]
[[Category:数学に関する記事]]