収束数列空間のソースを表示

[[数学]]の分野、[[函数解析学]]において[[実数|実]]または[[複素数|複素]]の{{仮リンク|収束数列|en|convergent sequence}} {{math|(''x''<sub>''n''</sub>)}} 全体からなる[[ベクトル空間]]は '''{{math|''c''}}''' と書かれる。これに[[一様ノルム]]
: <math>\|x\|_\infty = \sup_n |x_n|</math>

を考えるとき、'''収束数列の空間''' {{math|''c''}} は[[バナッハ空間]]を成す。これは[[有界函数|有界数列]]の[[数列空間|空間]] [[ルベーグ空間|{{math|ℓ<sup>∞</sup>}}]] の[[閉集合|閉]][[部分線型空間|部分空間]]であり、かつまた'''{{仮リンク|零列|en|Null sequence}}の（バナッハ）空間''' {{math|''c''<sub>0</sub>}} を閉部分空間として含む。{{math|''c''}} の[[双対空間]]は（{{math|''c''<sub>0</sub>}} のと同じく）{{math|ℓ<sup>1</sup>}} に等長同型である。特に {{math|''c''}} と {{math|''c''<sub>0</sub>}} の何れも[[回帰的空間|回帰的]]でない。前者について、{{math|ℓ<sup>1</sup>}} と {{math|''c''*}} が同型であることは[[双対対|内積]]を、{{math|(''x''<sub>0</sub>,''x''<sub>1</sub>,...) &isin; ℓ<sup>1</sup>}} と {{math|(''y''<sub>1</sub>,''y''<sub>2</sub>,...) &isin; ''c''}} に対して
: <math>x_0\lim_{n\to\infty} y_n + \sum_{i=1}^\infty x_i y_i</math>

と与えればよい。これは[[順序数]] {{math|&omega;}} 上で考えた[[リースの表現定理]]である。他方 {{math|''c''<sub>0</sub>}} について、{{math|(''x''<sub>i</sub>) &isin; ℓ<sup>1</sup>}} と {{math| (''y''<sub>i</sub>) &isin; ''c''<sub>0</sub>}} の内積は
: <math>\sum_{i=0}^\infty x_iy_i</math>

とすればよい。

== 関連項目 ==
* [[数列空間]]
* [[数ベクトル空間]]

== 参考文献 ==
* {{citation|first1=N.|last1=Dunford|first2=J.T.|last2=Schwartz|title=Linear operators, Part I|publisher=Wiley-Interscience|year=1958}}.

{{DEFAULTSORT:しゆうそくすうれつくうかん}}
[[Category:関数解析学]]
[[Category:数列]]
[[Category:数列空間]]
[[Category:バナッハ空間]]
[[Category:数学に関する記事]]