収束数列空間

数学の分野、函数解析学において実または複素のテンプレート:仮リンク テンプレート:Math 全体からなるベクトル空間は テンプレート:Math と書かれる。これに一様ノルム

$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{n}{\sup }|x_n|$

を考えるとき、収束数列の空間 テンプレート:Math はバナッハ空間を成す。これは有界数列の空間 [[ルベーグ空間|テンプレート:Math]] の閉部分空間であり、かつまたテンプレート:仮リンクの（バナッハ）空間 テンプレート:Math を閉部分空間として含む。テンプレート:Math の双対空間は（テンプレート:Math のと同じく）テンプレート:Math に等長同型である。特に テンプレート:Math と テンプレート:Math の何れも回帰的でない。前者について、テンプレート:Math と テンプレート:Math が同型であることは内積を、テンプレート:Math と テンプレート:Math に対して

$x_0\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{y}_n+\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_i{y}_i$

と与えればよい。これは順序数 テンプレート:Math 上で考えたリースの表現定理である。他方 テンプレート:Math について、テンプレート:Math と テンプレート:Math の内積は

$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{x}_i{y}_i$

とすればよい。

関連項目

• 数列空間
• 数ベクトル空間

参考文献

• テンプレート:Citation.