順序数

テンプレート:Otheruses 数学の特に集合論において、順序数（じゅんじょすう、テンプレート:Lang-en-short）とは、整列集合同士の“長さ”を比較するために、自然数を拡張させた概念である。

定義

整列集合 テンプレート:Math に対して、テンプレート:Mvar を定義域とする写像 テンプレート:Math を超限帰納法によって

$G_{A,<}(a)=\{G_{A,<}(x)\mid x<a\}$

と定義したとき、テンプレート:Math の値域 テンプレート:Math を (A, <) の順序数といい、これを テンプレート:Math で表す。ある整列集合の順序数であるような集合を順序数と呼ぶ。

例

テンプレート:Math は自然数の通常の大小関係（を各集合に制限したもの）を表すものとすると、

$\begin{array}{cc}\mathrm{ord}(\varnothing ,{<}_{\omega })& =\varnothing =0\\ \mathrm{ord}(\{2\},{<}_{\omega })& =\{\varnothing \}=1\\ \mathrm{ord}(\{2,3\},{<}_{\omega })& =\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}=\{0,1\}=2\\ \mathrm{ord}(\{2,3,5\},{<}_{\omega })& =\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\left\}\right\}=\{0,1,2\}=3\end{array}$

この例から推測されるように、一般に有限の整列集合 テンプレート:Math に対して テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の要素の個数に等しい。特に、任意の自然数 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math が成り立つので、自然数はすべて順序数である。

順序数に関して次が成り立つ：

1. 整列集合 テンプレート:Math と整列集合 テンプレート:Math が同型のとき、またそのときに限り テンプレート:Math。
2. テンプレート:Math が有限整列集合のとき、テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の要素の個数に等しい。
3. 整列集合 テンプレート:Math の順序数を テンプレート:Mvar とし、テンプレート:Math を テンプレート:Mvar 上の所属関係とすると、テンプレート:Math は テンプレート:Math と同型な整列集合である。
4. テンプレート:Mvar が順序数であることと、テンプレート:Mvar が テンプレート:Math によって整列された推移的集合であることは同値である。
5. テンプレート:Mvar が順序数のとき、テンプレート:Mvar の要素もすべて順序数である。

自然数全体の集合 テンプレート:Mvar は テンプレート:Math によって整列された推移的な集合であるから、上の事実 4. より テンプレート:Mvar は順序数である。

順序数の大小関係

任意の順序数 テンプレート:Math に対して次が成り立つことが示される：

テンプレート:Math

テンプレート:Math かつ テンプレート:Math

テンプレート:Math または テンプレート:Math または テンプレート:Math

そこで、テンプレート:Math のとき テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar より大きいといい、テンプレート:Math と書く。この定義と順序数の要素はまた順序数であるという性質から、すべての順序数は自分自身より小さな順序数全体の集合と等しいと言うことができる。テンプレート:Mvar より小さな順序数（すなわち自然数）を有限順序数と呼び、テンプレート:Mvar 以上の（すなわち テンプレート:Mvar と等しいか テンプレート:Mvar より大きい）順序数を超限順序数と呼ぶ。順序数の大小関係に関して次が成り立つ：

1. 整列集合 テンプレート:Math が整列集合 テンプレート:Math のある始切片と同型のとき、またそのときに限り テンプレート:Math。
2. 有限順序数の範囲では、上で定義された大小関係は通常の大小関係と一致する。
3. テンプレート:Mvar が順序数のとき、テンプレート:Math は テンプレート:Mvar より大きな順序数のうちで最小のものである。テンプレート:Math を テンプレート:Mvar の後続者 テンプレート:Langと呼ぶ。
4. テンプレート:Mvar が順序数からなる集合のとき、$\bigcup _{\alpha \in O}\alpha$ もまた順序数であり、テンプレート:Mvar の最小上界となっている。そこで、$\bigcup _{\alpha \in O}\alpha$ を テンプレート:Math とも書く。
5. 順序数からなる空でない集合には必ず最小元が存在する。

順序数の並び方を次のように図示することができる：

テンプレート:Math2

まず、テンプレート:Math が最小の順序数である。その後に テンプレート:Math と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 テンプレート:Mvar である。テンプレート:Mvar の後にはまたその後続者たちが テンプレート:Math と無限に続いていく。その後、それらの最小上界（後に テンプレート:Math と呼ばれる）が並び、その後続者たちが無限に続く。だがそれで終わりではない。無限に続いた後には、必ずそれまでに並んだすべての順序数たちの最小上界が存在し、その後続者、そのまた後続者、... のように順序数の列は“永遠に”続いていくのである。

順序数の特徴付け

集合 テンプレート:Mvar について以下はZFで同値である。

• テンプレート:Mvar は順序数である。
• テンプレート:Mvar は推移的集合であり帰属関係 テンプレート:Math に関する整列集合である。 （ジョン・フォン・ノイマンの定義）テンプレート:Sfnp
• テンプレート:Mvar は推移的集合であり テンプレート:Math ならば テンプレート:Math のいずれか1つだけが成り立つ。
• テンプレート:Mvar は推移的集合であり包含関係 テンプレート:Math に関する全順序集合である。
• テンプレート:Mvar は推移的集合であり テンプレート:Mvar の要素もまた推移的集合である。

ただし正則性公理を仮定しない場合は必ずしも同値にならないので注意が必要である。

ブラリ＝フォルティの定理

ブラリ＝フォルティの定理とは、「すべての順序数からなる集合は存在しない」という定理である。これは次のようにして示すことができる：

すべての順序数からなる集合 テンプレート:Math が存在すると仮定する。すると、順序数の要素はまた順序数であるという性質から テンプレート:Math は推移的な集合である。さらに、テンプレート:Math の空でない部分集合には必ず テンプレート:Math に関する最小元が存在するので、テンプレート:Math は テンプレート:Math によって整列されている。したがって テンプレート:Math は順序数であるので テンプレート:Math であるが、これは任意の順序数 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math であるという事実と矛盾する。よって順序数全体の集合は存在しない。

かつて、集合論が公理化される以前には、「集合全体の集合」や「順序数全体の集合」といったものも無制限に考えられていたため、上のように順序数全体の集合を考えたときに起こる矛盾はブラリ＝フォルティのパラドックスと呼ばれていた。

後続順序数と極限順序数

テンプレート:See also ある順序数 テンプレート:Mvar が存在して テンプレート:Math となる順序数 テンプレート:Mvar を後続順序数 テンプレート:Lang と呼ぶ。テンプレート:Math でも後続順序数でもない順序数を極限順序数 テンプレート:Lang と呼ぶ。定義より、すべての順序数 テンプレート:Mvar に対して、

• テンプレート:Math
• テンプレート:Mvar は後続順序数である
• テンプレート:Mvar は極限順序数である

のいずれか一つだけが成り立つ。テンプレート:Mvar は最小の極限順序数である。また、任意の順序数 テンプレート:Mvar に対して、テンプレート:Mvar より大きな極限順序数が存在することが示される。

順序数の演算

順序数の間には自然数の場合と同じく和、積、冪が定義できる。特に有限順序数の間の演算は通常のそれと一致する。

和

テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar を順序数とする。 整列集合 テンプレート:Math, テンプレート:Math を テンプレート:Math, テンプレート:Math, テンプレート:Math をみたすように取り、テンプレート:Math 上の関係 テンプレート:Math を、

テンプレート:Math 　⇔　 テンプレート:Math または テンプレート:Math または テンプレート:Math

によって定義すれば、テンプレート:Math は整列集合であり、その順序数は テンプレート:Math, テンプレート:Math の特定の取り方によらず一定である。そこで テンプレート:Math を テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の和といい、これを テンプレート:Math で表す。直観的には、テンプレート:Math というのは テンプレート:Mvar の後ろに テンプレート:Mvar を並べてできる整列集合の順序数である。

順序数の和について次が成り立つ：

1. テンプレート:Math が有限順序数ならば、和 テンプレート:Math は自然数の間の通常の和と一致する。
2. テンプレート:Math 。
3. テンプレート:Math 。
4. テンプレート:Math 。
5. テンプレート:Mvar が極限順序数のとき、テンプレート:Math 。
6. テンプレート:Math 。
7. テンプレート:Math 。
8. 順序数の和は一般には可換でない。例えば、テンプレート:Math である。
9. テンプレート:Math ならば テンプレート:Math をみたす テンプレート:Mvar がただ一つ存在する。

積

テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar を順序数とする。 整列集合 テンプレート:Math, テンプレート:Math を テンプレート:Math, テンプレート:Math をみたすように取り、テンプレート:Math 上の関係 テンプレート:Math を、

テンプレート:Math　⇔　 テンプレート:Math または （テンプレート:Math かつ テンプレート:Math）

によって定義すれば、テンプレート:Math は整列集合であり、その順序数は テンプレート:Math, テンプレート:Math の特定の取り方によらず一定である。そこで テンプレート:Math を テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の積といい、これを テンプレート:Math で表す。直観的には、テンプレート:Math というのは テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar 個並べてできる整列集合の順序数である。

順序数の積について次が成り立つ：

1. テンプレート:Math が有限順序数ならば、積 テンプレート:Math は自然数の通常の積に一致する。
2. テンプレート:Math 。
3. テンプレート:Math 。
4. テンプレート:Math 。
5. テンプレート:Mvar が極限順序数のとき、テンプレート:Math 。
6. テンプレート:Math 。
7. テンプレート:Math のとき、テンプレート:Math 。
8. テンプレート:Math 。
9. 順序数の積は一般には可換でない。例えば、テンプレート:Math である。
10. テンプレート:Math 。
11. テンプレート:Math は一般には成り立たない。
12. 任意の順序数 テンプレート:Mvar と テンプレート:Math でない順序数 テンプレート:Mvar に対して、テンプレート:Math かつ テンプレート:Math をみたす順序数の組 テンプレート:Math がただ一組存在する。

冪

テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar を順序数とする。 整列集合 テンプレート:Math, テンプレート:Math を テンプレート:Math, テンプレート:Math をみたすように取り、テンプレート:Math2 は有限集合 テンプレート:Math 上の関係 テンプレート:Math を、

テンプレート:Math 　⇔　 テンプレート:Math かつ、 テンプレート:Math をみたす最大の テンプレート:Math に対して テンプレート:Math

によって定義すれば、テンプレート:Math は整列集合であり、その順序数は テンプレート:Math, テンプレート:Math の特定の取り方によらず一定である。そこで テンプレート:Math を テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar 乗といい、これを テンプレート:Mvar で表す。

順序数の冪について次が成り立つ：

1. テンプレート:Math が有限順序数ならば、冪 テンプレート:Mvar は自然数の通常の冪に一致する。
2. テンプレート:Math 。
3. テンプレート:Math のとき、テンプレート:Math 。
4. テンプレート:Math 。
5. テンプレート:Math 。
6. テンプレート:Math で、テンプレート:Mvar が極限順序数のとき、テンプレート:Math 。
7. テンプレート:Math のとき、テンプレート:Math 。
8. テンプレート:Math 。
9. テンプレート:Math 。
10. テンプレート:Math 。
11. テンプレート:Math は一般には成り立たない。

集合の濃度と基数

集合 テンプレート:Mvar から集合 テンプレート:Mvar への全単射が存在するとき、テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar は同数 テンプレート:Lang であるといい、テンプレート:Math で表す。 選択公理を仮定すれば、整列定理により任意の集合 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Mvar と同数であるような順序数が存在することが言える。そこで、集合 テンプレート:Mvar と同数であるような順序数の中で最小のものを テンプレート:Mvar の濃度 テンプレート:Lang といい、これを テンプレート:Math あるいは テンプレート:Math で表す。ある集合 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math である順序数 テンプレート:Mvar を基数 テンプレート:Lang と呼ぶ。集合の濃度に関して次が成り立つ：

1. テンプレート:Math
2. テンプレート:Mvar が有限集合のとき、テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の要素の個数に等しい。

基数に対しても、上で定義した順序数の演算とは別に和、積、冪を定義することができる。

参考文献

• テンプレート:Citation.
• テンプレート:Citation
  • テンプレート:Citation – 注釈：テンプレート:Harvnbの英訳。

関連項目

• 始順序数
• ヴェブレン階層
• 共終数
• 構成可能集合
• 公理的集合論
• 整礎的集合
• 濃度
• 急成長階層

外部リンク

• テンプレート:Kotobank