古典ハイゼンベルク模型のソースを表示

'''古典ハイゼンベルク模型'''（こてんハイゼンベルクもけい、{{lang-en-short|classical Heisenberg model}}, '''古典ハイゼンベルクモデル'''）とは、[[統計力学]]に登場するモデル（模型）の一つで、[[強磁性]]やその他の現象を説明するために用いられる。[[n-ベクトルモデル|''n'' ベクトル模型]]の ''n'' = 3 の場合に相当する。

==定義==
このモデルは次のように定式化される。''d'' 次元の[[格子]]を用意し、単位長を持つ3成分[[スピン角運動量|スピン]]ベクトル
:<math>\vec{s}_i \in \mathbb{R}^3, |\vec{s}_i|=1\quad (1)</math>
を各格子点に一つずつ配置する。

この系の[[ハミルトニアン]]は次のように定義される。
: <math>\mathcal{H} = -\sum_{i,j} \mathcal{J}_{ij} \vec{s}_i \cdot \vec{s}_j\quad (2)</math>
ここで係数
: <math> \mathcal{J}_{ij} = \begin{cases} J & \text{if }i, j\text{ are neighbors} \\ 0 & \text{else}\end{cases}</math>
はスピン間の結合係数である。''i'' 番目と ''j'' 番目のスピンが隣接していれば ''J'', そうでなければ 0 の値をとる。

==性質==
ハイゼンベルク模型を記述・解明するための一般的な数学的表現や一般化については、{{仮リンク|ポッツ模型|en|Potts model}}にて解説する。注記すると、[[連続極限]] (continuum limit) において (2) 式は次の運動方程式を与える。
: <math>\vec{S}_{t}=\vec{S}\wedge \vec{S}_{xx}.\quad (3)</math>
この方程式は連続古典ハイゼンベルク強磁性体方程式 ([[:en:continuous classical Heisenberg ferromagnet equation|continuous classical Heisenberg ferromagnet equation]]) あるいは短くハイゼンベルク模型と呼ばれており、[[ソリトン]]において[[可積分]]である。[[ランダウ＝リフシッツ方程式]]や{{仮リンク|石森方程式|en|Ishimori equation|}}などのように、いくつかの可積分あるいは非可積分な一般化が可能である。

===1次元===
*長距離相互作用 <math> J_{x,y}\sim |x-y|^{-\alpha} </math> の場合、<math> \alpha >1 </math> であれば、熱力学極限は [[well defined]] である。{{math|''&alpha;'' &ge; 2}} であれば、磁性は 0 のままである。しかし、{{math|1 < ''&alpha;'' < 2}}（赤外境界）であれば、充分低い温度で磁性は正となる。

*短距離相互作用の場合、外場が 0 であれば、自由境界を持つ最近接相互作用の[[n-ベクトルモデル]](n-vector model)の一種であり、単純な厳密解が存在する。

===2次元===
*長距離相互作用 <math> J_{x,y}\sim |x-y|^{-\alpha} </math> の場合、{{math|''&alpha;'' > 2}} であれば、熱力学極限は well defined である。{{math|''&alpha;'' &ge; 4}} であれば、磁性は 0 のままである。しかし、{{math|2 < ''&alpha;'' < 4}}（赤外境界）であれば、十分低い温度で磁性は正となる。

* ポリヤコフは、[[XY模型|古典XYモデル]]の反対として、任意の <math>T>0</math> に対し{{仮リンク|双極相|en|dipole phase}}(dipole phase)は存在しないと予想した。つまり、温度が零でないとき、相関函数は指数函数的に密集する<ref>{{cite journal|last=Polyakov|first=A.M.|journal=Phys. Lett.|year=1975|volume=B 59|title=Interaction of goldstone particles in two dimensions. Applications to ferromagnets and massive Yang-Mills fields|url=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0370269375901616|doi=10.1016/0370-2693(75)90161-6|bibcode = 1975PhLB...59...79P }}</ref>。

===3次元とそれ以上の次元===
相互作用のレンジとは独立に、十分低い温度で、磁性は正となる。

低温の臨界状態では、相関函数が切り取られて、代数的になることが予想されている。

== 参考文献 ==
{{reflist}}
* {{cite|和書 |author=西森秀稔 |title=相転移・臨界現象の統計物理学 |publisher=培風館 |year=2005 }}

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|量子ハイゼンベルク模型|en|Heisenberg model (quantum)}}
* [[イジング模型]]
* [[XY模型]]
* {{仮リンク|nベクトル模型|en|n-vector model}}
* [[磁性]]
* [[強磁性]]
* [[ランダウ＝リフシッツ方程式]]
* {{仮リンク|石森方程式|en|Ishimori equation}}

== 外部リンク ==
* [http://prola.aps.org/abstract/PRL/v17/i22/p1133_1 Absence of Ferromagnetism or Antiferromagnetism in One- or Two-Dimensional Isotropic Heisenberg Models]
* [http://www.math.ucdavis.edu/~bxn/qs.html  The Heisenberg Model - a Bibliography]
* [http://www.isingspinwebgl.com  Monte-Carlo simulation of the Heisenberg, XY and Ising models with 3D graphics (requires WebGL compatible browser)]

{{physics-stub}}

{{デフォルトソート:こてんはいせんへるくもけい}}
[[Category:磁気]]
[[Category:物性物理学]]
[[Category:格子模型]]
[[Category:物理学のエポニム]]