古典ハイゼンベルク模型

古典ハイゼンベルク模型（こてんハイゼンベルクもけい、テンプレート:Lang-en-short, 古典ハイゼンベルクモデル）とは、統計力学に登場するモデル（模型）の一つで、強磁性やその他の現象を説明するために用いられる。n ベクトル模型の n = 3 の場合に相当する。

定義

このモデルは次のように定式化される。d 次元の格子を用意し、単位長を持つ3成分スピンベクトル

{\vec{s}}_{i} \in ℝ^{3}, | {\vec{s}}_{i} | = 1 (1)

を各格子点に一つずつ配置する。

この系のハミルトニアンは次のように定義される。

ℋ = - \sum_{i, j} 𝒥_{i j} {\vec{s}}_{i} \cdot {\vec{s}}_{j} (2)

ここで係数

𝒥_{i j} = {\begin{matrix} J & if i, j are neighbors \\ 0 & else \end{matrix}

はスピン間の結合係数である。i 番目と j 番目のスピンが隣接していれば J, そうでなければ 0 の値をとる。

ハイゼンベルク模型を記述・解明するための一般的な数学的表現や一般化については、テンプレート:仮リンクにて解説する。注記すると、連続極限 (continuum limit) において (2) 式は次の運動方程式を与える。

{\vec{S}}_{t} = \vec{S} \land {\vec{S}}_{x x} . (3)

この方程式は連続古典ハイゼンベルク強磁性体方程式 (continuous classical Heisenberg ferromagnet equation) あるいは短くハイゼンベルク模型と呼ばれており、ソリトンにおいて可積分である。ランダウ＝リフシッツ方程式やテンプレート:仮リンクなどのように、いくつかの可積分あるいは非可積分な一般化が可能である。

長距離相互作用 $J_{x, y} \sim | x - y |^{- α}$ の場合、 $α > 1$ であれば、熱力学極限は well defined である。テンプレート:Math であれば、磁性は 0 のままである。しかし、テンプレート:Math（赤外境界）であれば、充分低い温度で磁性は正となる。

短距離相互作用の場合、外場が 0 であれば、自由境界を持つ最近接相互作用のn-ベクトルモデル(n-vector model)の一種であり、単純な厳密解が存在する。

長距離相互作用 $J_{x, y} \sim | x - y |^{- α}$ の場合、テンプレート:Math であれば、熱力学極限は well defined である。テンプレート:Math であれば、磁性は 0 のままである。しかし、テンプレート:Math（赤外境界）であれば、十分低い温度で磁性は正となる。

ポリヤコフは、古典XYモデルの反対として、任意の $T > 0$ に対しテンプレート:仮リンク(dipole phase)は存在しないと予想した。つまり、温度が零でないとき、相関函数は指数函数的に密集する^[1]。

相互作用のレンジとは独立に、十分低い温度で、磁性は正となる。

低温の臨界状態では、相関函数が切り取られて、代数的になることが予想されている。