古典的モジュラー曲線のソースを表示

数論において、'''古典的モジュラー曲線'''とは既約な[[平面代数曲線]]であって、方程式

:{{math|Φ<sub>''n''</sub>(''x'', ''y'') {{=}} 0}}

を満たし、点 {{math|(''x'', ''y'') {{=}} (''j''(''nτ''), ''j''(''τ''))}} が曲線の上にあるようなものである。ここで、{{math|''j''(''τ'')}} は [[j-不変量|{{mvar|j}}-不変量]]のことを指す。

この曲線は {{math|''X''<sub>0</sub>(''n'')}} と呼ばれることもあるが、{{math|''X''<sub>0</sub>(''n'')}} という記法はさまざまなモデルを持つような抽象的な[[代数曲線]]に対して使われる。関連する対象に、'''古典的モジュラー多項式'''という、{{math|Φ<sub>''n''</sub>(''x'', ''x'')}} で定義される一変数多項式もある。古典的モジュラー多項式という名前は、二変数多項式 {{math|Φ<sub>''n''</sub>(''x'', ''y'')}} を指して使われることもある<ref>{{citation|author=Bröker, R.; Lauter., K.; Sutherland, A.|title=Modular polynomials via isogeny volcanoes|url=https://arxiv.org/abs/1001.0402}}</ref>。

古典的モジュラー曲線は[[モジュラー曲線]]の広大な理論の一部分であることに注意されたい。特に、古典的モジュラー曲線は複素[[上半平面]] {{math|'''H'''}} の商のコンパクト化として表現することもできる。

== モジュラー曲線の幾何 ==
[[Image:Modknot11.png|thumb|Knot at infinity of {{math|''X''<sub>0</sub>(11)}}]]
古典的モジュラー曲線は {{math|''X''<sub>0</sub>(''n'')}} と表記される。多項式 {{math|Φ<sub>''n''</sub>(''x'', ''y'')}} は整数係数を持ち、それゆえ任意の体で定義される。しかし、係数は相当に大きく、この曲線に対する計算は難しい場合がある。{{math|'''Z'''[''y'']}} 係数の {{mvar|x}} に関する多項式としてみると、古典的モジュラー多項式の次数は {{math|''ψ''(''n'')}} である。ここで {{mvar|ψ}} は {{仮リンク|デデキントのψ関数|en|Dedekind psi function}} である。{{math|Φ<sub>''n''</sub>(''x'', ''y'') {{=}} Φ<sub>''n''</sub>(''y'', ''x'')}} であるため、 {{math|''X''<sub>0</sub>(''n'')}} は直線 {{math|''y'' {{=}} ''x''}} に関して線対称であり、{{math|Φ<sub>''n''</sub>(''x'', ''x'') {{=}} 0}} の重根において特異点を持ち、そこで古典的モジュラー曲線は自分自身と交差する。

== モジュラー曲線のパラメータ付け ==
{{math|''n'' {{=}} 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 16, 18, 25}} に対しては、 {{math|''X''<sub>0</sub>(''n'')}} の[[種数]]は 0 である。そのため、有理関数によるパラメータ付けができる[http://www.math.fsu.edu/~hoeij/files/X0N/Parametrization]。非自明な中で最も単純である例は {{math|''X''<sub>0</sub>(2)}} であり、

:<math>j_2(q)= q^{-1} - 24 + 276q -2048q^2 + 11202q^3 + \cdots =\left (\frac{\eta(q)}{\eta(q^2)} \right)^{24}</math>

を (定数項を無視した) [[モンスター群]]のクラス 2B の元に対する{{仮リンク|マッカイ・トンプソン級数|en|McKay–Thompson series}}とし、{{mvar|η}} を[[デデキントのイータ関数]]としたとき、

:<math>x = \frac{(j_2+256)^3}{j_2^2},</math>
:<math>y = \frac{(j_2+16)^3}{j_2}</math>

は {{math|''j''<sub>2</sub>}} の有理関数による {{math|''X''<sub>0</sub>(2)}} のパラメータ付けである。このパラメータ付けを使う際実際に {{math|''j''<sub>2</sub>}} を計算する必要はない。{{math|''j''<sub>2</sub>}} の部分は任意のパラメータと見なすことができる。

== 具体例 ==
これらの具体例は[https://math.mit.edu/~drew/ClassicalModPolys.html]による。
:<math>\Phi_1(x, y) = x-y</math>
:<math>\Phi_2(x, y) = (x^3 + y^3)  -162000(x^2+y^2) + 1488xy(x+y) - x^2y^2 + 8748000000(x+y) + 40773375xy - 157464000000000</math>
== 関連項目 ==
*[[代数曲線]]
*[[J-不変量|''j''-不変量]]
*[[モジュラー曲線]]
*[[モジュラー関数]]

== 参考文献 ==
*{{citation|first=Erich|last=Hecke|title=Die eindeutige Bestimmung der Modulfunktionen q-ter Stufe durch algebraische Eigenschaften|journal=[[Mathematische Annalen]]|volume=111|year=1935|pages= 293–301|url=https://eudml.org/doc/159776|doi=10.1007/BF01472221}}, reprinted in ''Mathematische Werke'', third edition, Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen, 1983, 568-576
*Anthony Knapp, ''Elliptic Curves'', Princeton, 1992
*[[Serge Lang]], ''Elliptic Functions'', Addison-Wesley, 1973
*Goro Shimura, ''Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphic Functions'', Princeton, 1972
{{reflist}}

== 外部リンク ==
*{{OEIS el|1=A001617|2=Genus of modular group Gamma_0(n). Or, genus of modular curve X_0(n)}}
*[http://www.math.uwaterloo.ca/~mrubinst/modularpolynomials/phi_l.html] Coefficients of {{math|''X''<sub>0</sub>(''n'')}}

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:こてんてきもしゆらあきょくせん}}
[[Category:代数曲線]]
[[Category:モジュラー形式]]
[[Category:解析的整数論]]
[[Category:数学に関する記事]]