可換環上の微分法のソースを表示

[[数学]]における'''可換環上の微分法'''（かかんかんじょうのびぶんほう、{{lang-en-short|''differential calculus over commutative algebras''}}）は、古典的な[[微分法]]における既知の概念の大半を純代数学的な言葉で定式化する研究観察に基づく[[可換環論|可換代数学]]の一分野である。

== 動機付けとなる例 ==
その具体例として、
{{ordered list
| 1=
（[[実数]]体 {{math|'''R'''}} 上の）[[可微分多様体|滑らかな多様体]] {{mvar|M}} の位相的情報の全ては、（{{仮リンク|バナッハ&ndash;ストーンの定理|en|Banach–Stone theorem}}の通りに）{{mvar|M}} 上の滑らかな函数全体の成す {{math|'''R'''}}-[[体上の多元環|多元環]] {{math|''A'' {{=}} ''C''{{exp|&infin;}}(''M'')}} の代数的性質に書きこまれている。
| 2=
{{mvar|M}} 上の[[ベクトル束]]には（ベクトル束をそれに付随する[[切断 (ファイバー束)|切断]]全体の成す[[環上の加群|加群]]へ写す[[函手]] {{mvar|&Gamma;}} を通じて）{{mvar|A}} 上の[[有限生成加群|有限生成]][[射影加群]]が対応する。
| 3=
{{mvar|M}} 上の[[ベクトル場]]は上記の多元環 {{mvar|A}} の{{仮リンク|導分作用素|label=微分|en|Derivation (abstract algebra)}}と自然に同一視される。
| 4=
 より一般に、ベクトル束 {{mvar|E → M}} から別のベクトル束 {{mvar|F → M}} への {{mvar|k}}-階{{仮リンク|線型微分作用素|en|linear differential operator}}は、付随する加群の間の {{math|'''R'''}}-線型写像 {{math|&Delta;: &Gamma;(''E'') → &Gamma;(''F'')}} で任意の {{math|''k'' + 1}} 個の元 {{math|''f''{{ind|0}}, …, ''f''{{ind|''k''}}}} に対して
: <math>[f_k[f_{k-1}[\cdots[f_0,\Delta]\cdots]]=0</math>
を満たすものと看做すことができる。ただし、括弧積 {{math|[''f'',&Delta;]: &Gamma;(''E'') → &Gamma;(''F'')}} は[[交換子]]
: <math>[f,\Delta](s)=\Delta(f\cdot s)-f\cdot \Delta(s)</math>
として定義されるものである。
}}
さて {{mvar|A}}-加群 {{mvar|P}} から別の {{mvar|A}}-加群 {{mvar|Q}} への {{mvar|k}}-階線型微分作用素全体の成す空間を {{math|Diff{{ind|''k''}}(''P'',''Q'')}} と書けば、{{mvar|A}}-[[加群の圏]] に値をとる{{仮リンク|双函手|label=二変数函手|en|bifunctor}} {{math|Diff{{ind|''k''}}}} が得られる。通常の微分積分学における他の自然な概念（例えば {{仮リンク|ジェット空間|en|jet space}}、[[微分形式]]など）も函手 {{math|Diff{{ind|''k''}}}} やそれに関連する函手を{{仮リンク|表現可能函手|label=表現する対象|en|Representable functor}}として得られる。

このような観点において見れば、微分積分学が実はこれらの函手およびその表現対称に関する理論であるものと理解することができる。

== 可換環上の理論 ==
上記の議論において、実数体 {{math|'''R'''}} を任意の[[可換環]]に取り換え、函数環 {{math|''C''{{exp|&infin;}}(''M'')}} を任意の{{仮リンク|可換多元環|label=可換|en|Commutative algebra (structure)}}[[環上の多元環|多元環]]と取り換えても上記の議論は有効に行えるから、そのようにして微分積分学を勝手な可換環上で展開することができる。このような概念の多くは、[[代数幾何学]]、[[微分幾何学]]および{{仮リンク|Secondary calculus|en|Secondary calculus and cohomological physics}}において広く用いられる。さらに言えば、このような理論を{{仮リンク|超可換代数|label=次数付き可換代数|en|supercommutative algebra}}に対して自然に一般化して、{{仮リンク|超多様体|en|supermanifold}}や{{仮リンク|次数付き多様体|en|graded manifold}}上の微分積分学およびそれに付随する{{仮リンク|ベレジン積分|en|Berezin integral}}のような概念の自然な基礎付けが行えるようになる。

== 関連項目 ==
* [[微分環]]

== 参考文献 ==
*J. Nestruev, ''Smooth Manifolds and Observables'', Graduate Texts in Mathematics '''220''', Springer, 2002. 
*I. S. Krasil'shchik, "Lectures on Linear Differential Operators over Commutative Algebras". Eprint [http://diffiety.ac.ru/preprint/99/01_99abs.htm DIPS-01/99].
*I. S. Krasil'shchik, A. M. Vinogradov (eds) "Algebraic Aspects of Differential Calculus", ''Acta Appl. Math.'' '''49''' (1997), Eprints: [http://diffiety.ac.ru/preprint/96/01_96abs.htm DIPS-01/96], [http://diffiety.ac.ru/preprint/96/02_96abs.htm DIPS-02/96], [http://diffiety.ac.ru/preprint/96/03_96abs.htm DIPS-03/96], [http://diffiety.ac.ru/preprint/96/04_96abs.htm DIPS-04/96], [http://diffiety.ac.ru/preprint/96/05_96abs.htm DIPS-05/96], [http://diffiety.ac.ru/preprint/96/06_96abs.htm DIPS-06/96], [http://diffiety.ac.ru/preprint/96/07_96abs.htm DIPS-07/96], [http://diffiety.ac.ru/preprint/96/08_96abs.htm DIPS-08/96]. 
*I. S. Krasil'shchik, A. M. Verbovetsky, "Homological Methods in Equations of Mathematical Physics", ''Open Ed. and Sciences,'' Opava (Czech Rep.), 1998; Eprint [http://lanl.arxiv.org/abs/math/9808130v2 arXiv:math/9808130v2].
*G. Sardanashvily, ''Lectures on Differential Geometry of Modules and Rings'', Lambert Academic Publishing, 2012; Eprint [https://arxiv.org/abs/0910.1515 arXiv:0910.1515] [math-ph] 137 pages. 
*A. M. Vinogradov, "The Logic Algebra for the Theory of Linear Differential Operators", ''Dokl. Acad. Nauk SSSR'', '''295'''(5) (1972) 1025-1028; English transl. in ''Soviet Math. Dokl.'' '''13'''(4) (1972), 1058-1062.
*A. M. Vinogradov, "Cohomological Analysis of Partial Differential Equations and Secondary Calculus", AMS, series: Translations of Mathematical Monograph, '''204''', 2001.
*A. M. Vinogradov, "Some new homological systems associated with differential calculus over commutative algebras" (Russian), Uspechi Mat.Nauk, 1979, '''34''' (6), 145-150;English transl. in ''Russian Math. Surveys'', '''34'''(6) (1979), 250-255.

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