可解リー環のソースを表示

{{Lie groups}}

[[数学]]において、[[リー代数|リー環]] {{math|'''g'''}} が'''可解''' (solvable) であるとは、''[[導来列]]''が零部分環で終わることをいう。'''derived Lie algebra''' は、{{math|'''g'''}} の元のペアのすべての[[リーブラケット]]からなる{{math|'''g'''}} の部分環で、

:<math>[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]</math>

と記される。導来列は部分環の列

:<math> \mathfrak{g} \geq [\mathfrak{g},\mathfrak{g}] \geq [[\mathfrak{g},\mathfrak{g}],[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]] \geq [[[\mathfrak{g},\mathfrak{g}],[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]],[[\mathfrak{g},\mathfrak{g}],[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]]]  \geq ...</math>

である。導来列が最終的に零部分環に到達するとき、リー環は可解である<ref name=Humphreys_1>{{harvnb|Humphreys|1972}}</ref>。リー環の導来列は[[群論]]における[[交換子部分群]]に対する導来列とアナロガスである。

任意の[[冪零リー環]]は当然可解であるが、逆は正しくない。可解リー環と[[半単純リー環]]は、{{仮リンク|レヴィ分解|en|Levi decomposition}}によって示されるように、2つの大きく一般に相補的なクラスをなす。

極大可解部分環は{{仮リンク|ボレル部分環|en|Borel subalgebra}}と呼ばれる。リー環の最大可解[[イデアル (リー環)|イデアル]]は{{仮リンク|リー環の根基|label=''根基''|en|Radical of Lie algebra}}と呼ばれる。

== 特徴づけ ==
{{math|'''g'''}} を[[標数]] {{math|0}} の体上の有限次元リー環とする。以下は同値である。
*(i) {{math|'''g'''}} は可解である。
*(ii) {{math|ad('''g''')}}, {{math|'''g'''}} の[[リー代数の随伴表現|随伴表現]]、は可解である。
*(iii) {{math|'''g'''}} のイデアル {{math|'''a'''<sub>''i''</sub>}} の有限列が存在して
*:<math>\mathfrak{g} = \mathfrak{a}_0 \supset \mathfrak{a}_1 \supset ... \mathfrak{a}_r = 0, \quad \forall i [\mathfrak{a}_i, \mathfrak{a}_i] \subset \mathfrak{a}_{i+1}.</math>
*(iv) {{math|['''g''', '''g''']}} は冪零である<ref>{{harvnb|Knapp|2002}} Proposition 1.39.</ref>。
*(v) {{mvar|n}} 次元の {{math|'''g'''}} に対して、{{math|'''g'''}} の部分環 {{math|'''a'''<sub>''i''</sub>}} の有限列が存在して、
*:<math>\mathfrak{g} = \mathfrak{a}_0 \supset \mathfrak{a}_1 \supset ... \mathfrak{a}_n = 0, \quad \forall i \operatorname{dim} \mathfrak{a}_{i}/\mathfrak{a}_{i + 1} = 1,</math>
:かつ各 {{math|'''a'''<sub>''i'' + 1</sub>}} は {{math|'''a'''<sub>''i''</sub>}} のイデアル<ref>{{harvnb|Knapp|2002}} Proposition 1.23.</ref>。このタイプの列は '''elementary sequence''' と呼ばれる。
*(vi) {{math|'''g'''}} の部分環 {{math|'''g'''<sub>''i''</sub>}} の有限列が存在して、
*:<math>\mathfrak{g} = \mathfrak{g}_0 \supset \mathfrak{g}_1 \supset ... \mathfrak{g}_r = 0,</math>
:かつ {{math|'''g'''<sub>''i'' + 1</sub>}} は {{math|'''g'''<sub>''i''</sub>}} のイデアルで {{math|'''g'''<sub>''i''</sub>/'''g'''<sub>''i'' + 1</sub>}} は可換<ref name= Fulton_1>{{harvnb|Fulton|Harris|1991}}</ref>。
*(vii) [[キリング形式]] {{math|''B''}} はすべての {{math|''X'' &isin; '''g'''}} と {{math|''Y'' &isin; ['''g''', '''g''']}} に対して {{math|''B''(''X'', ''Y'') {{=}} 0}} を満たす<ref>{{harvnb|Knapp|2002}} Proposition 1.46.</ref>（{{仮リンク|カルタンの判定法|en|Cartan's criterion#Cartan's criterion for solvability}}）

== 性質 ==
{{仮リンク|リーの定理|en|Lie's Theorem}}は以下のようなものである。{{math|''V''}} が標数 0 の代数閉体 {{math|'''K'''}} 上の有限次元ベクトル空間で、{{math|'''g'''}} が {{math|'''K'''}} の部分体 {{math|'''k'''}} 上の可解線型リー環で、{{math|''π''}} が {{mvar|V}} 上の {{math|'''g'''}} の'''表現'''であれば、すべての元 {{math|''X'' ∈ '''g'''}} に対する行列 {{math|''π''(''X'')}} の同時[[固有ベクトル]] {{math|''v'' ∈ ''V''}} が存在する。より一般に、この結果は、すべての {{math|''X'' ∈ '''g'''}} に対して {{math|''π''(''X'')}} のすべての[[固有値]]が {{math|'''K'''}} に入っていれば成り立つ<ref>{{harvnb|Knapp|2002}} Theorem 1.25.</ref>。

*可解リー環のすべての部分リー環、商環、拡大環は可解である。
*非零可換リー環は非零可換イデアル、導来列の最後の非零項、を持つ<ref name=Knapp_1/>。
*可解リー環の準同型像は可解である<ref name=Knapp_1>{{harvnb|Knapp|2002}}</ref>。
* {{math|'''a'''}} が {{math|'''g'''}} の可解イデアルで {{math|'''g'''/'''a'''}} が可解であれば、{{math|'''g'''}} は可解である<ref name=Knapp_1/>。
* {{math|'''g'''}} が有限次元であれば、{{math|'''g'''}} のすべての可解イデアルを含む唯一の可解イデアル {{math|'''r''' ⊂ '''g'''}} が存在する。このイデアルは {{math|'''g'''}} の'''根基''' (radical) と呼ばれ、{{math|rad '''g'''}} と記される<ref name=Knapp_1/>。
* {{math|'''a''', '''b''' ⊂ '''g'''}} が可解イデアルであれば、{{math|'''a''' + '''b'''}} も可解イデアルである<ref name=Humphreys_1/>。
*可解リー環 {{math|'''g'''}} は唯一の最大冪零イデアル {{math|'''n'''}}, {{math|ad<sub>''X''</sub>}} が冪零なる {{math|''X'' ∈ '''g'''}} 全体の集合、を持つ。{{mvar|D}} が {{math|'''g'''}} の任意の derivation であれば、{{math|''D''('''g''') ⊂ '''n'''}} である<ref>{{harvnb|Knapp|2002}} Proposition 1.40.</ref>。

==Completely solvable Lie algebras==

リー環 {{math|'''g'''}} が '''completely solvable''' あるいは '''split solvable''' とは、{{math|0}} から {{math|'''g'''}} への {{math|'''g'''}} のイデアルの elementary sequence を持つことをいう。有限次元冪零リー環は completely solvable であり、completely solvable Lie algebra は可解である。代数的閉体上、可解リー環は completely solvable であるが、平面のユークリッド等長写像の群の{{math|3}}&nbsp;次元実リー環は可解だが completely solvable ではない。

*(a) 可解リー環 {{math|'''g'''}} が split solvable であることと {{math|ad<sub>''X''</sub>}} のすべての固有値がすべての {{math|''X'' &isin; '''g'''}} に対して {{math|'''k'''}} に入ることは同値である<ref name=Knapp_1/>。

== 例 ==
* 0でない[[半単純リー環]]は可解では''ない''<ref name=Humphreys_1/>。
* すべての[[可換リー環]]は可解である。
* すべての[[冪零リー環]]は可解である。
* {{math|'''b'''<sub>''k''</sub>}} を {{math|'''gl'''<sub>''k''</sub>}} の部分環で上三角行列のみからなるとする。このとき {{math|'''b'''<sub>''k''</sub>}} は可解である。
* {{math|'''g'''}} を
::<math>X = \left(\begin{matrix}0 & \theta & x\\ -\theta & 0 & y\\ 0 & 0 & 0\end{matrix}\right), \quad \theta, x, y \in \mathbb{R}.</math>
:の形の行列全体の集合とする。すると {{math|'''g'''}} は可解であるが split solvable ではない<ref name=Knapp_1/>。これは平面の平行移動と回転の群のリー環に同型である。
<!--
==Solvable Lie groups==

The terminology arises from the [[solvable group]]s of abstract [[group theory]]. There are several possible definitions of '''solvable Lie group'''. For a [[Lie group]] ''G'', there is

* termination of the usual [[derived series]], in other words taking ''G'' as an abstract group;
* termination of the closures of the derived series;
* having a solvable Lie algebra.

To have equivalence one needs to assume ''G'' connected. For connected Lie groups, these definitions are the same, and the derived series of Lie algebras are the Lie algebra of the derived series of (closed) subgroups.
-->
==関連項目==
*{{仮リンク|カルタンの判定法|en|Cartan's criterion}}
*[[キリング形式]]
*{{仮リンク|リーの定理 (リー環論)|en|Lie-Kolchin theorem}}
*{{仮リンク|Solvmanifold|en|Solvmanifold}}
*{{仮リンク|ディクスミエ写像|en|Dixmier mapping}}

==外部リンク==
*[http://eom.springer.de/l/l058520.htm EoM article ''Lie algebra, solvable'']
*[http://eom.springer.de/l/l058690.htm EoM article ''Lie group, solvable'']

==脚注==
{{reflist}}

==参考文献==
*{{cite book|ref=harv|last1=Fulton|last2=Harris|first1=W.|first2=J.|year=1991|publisher=Springer-Verlag|location=New York|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=129|isbn=978-0-387-97527-6|mr=1153249|authorlink1=William Fulton (mathematician)|authorlink2=Joe Harris (mathematician)|title=Representation theory. A first course}}
*{{cite book|ref=harv|last=Humphreys|first=James E.|title=Introduction to Lie Algebras and Representation Theory|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=9|publisher=Springer-Verlag|location=New York|year=1972|isbn=0-387-90053-5}}
*{{cite book|ref=harv|authorlink=A. W. Knapp|last=Knapp|first=A. W.|title=Lie groups beyond an introduction|isbn=0-8176-4259-5|publisher=Birkhäuser|series=Progress in Mathematics|volume=120|edition=2nd|year=2002|location=Boston·Basel·Berlin}}.

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:かかいりいかん}}
[[Category:リー環の性質]]
[[Category:数学に関する記事]]