可解リー環

数学において、リー環 テンプレート:Math が可解 (solvable) であるとは、導来列が零部分環で終わることをいう。derived Lie algebra は、テンプレート:Math の元のペアのすべてのリーブラケットからなるテンプレート:Math の部分環で、

$[𝔤,𝔤]$

と記される。導来列は部分環の列

$𝔤\ge [𝔤,𝔤]\ge [[𝔤,𝔤],[𝔤,𝔤]]\ge [[[𝔤,𝔤],[𝔤,𝔤]],[[𝔤,𝔤],[𝔤,𝔤]]]\ge ...$

である。導来列が最終的に零部分環に到達するとき、リー環は可解である。リー環の導来列は群論における交換子部分群に対する導来列とアナロガスである。

任意の冪零リー環は当然可解であるが、逆は正しくない。可解リー環と半単純リー環は、テンプレート:仮リンクによって示されるように、2つの大きく一般に相補的なクラスをなす。

極大可解部分環はテンプレート:仮リンクと呼ばれる。リー環の最大可解イデアルはテンプレート:仮リンクと呼ばれる。

特徴づけ

テンプレート:Math を標数 テンプレート:Math の体上の有限次元リー環とする。以下は同値である。

• (i) テンプレート:Math は可解である。
• (ii) テンプレート:Math, テンプレート:Math の随伴表現、は可解である。
• (iii) テンプレート:Math のイデアル テンプレート:Math の有限列が存在して

  $𝔤={𝔞}_0\supset {𝔞}_1\supset ...{𝔞}_r=0,\mathrm{\forall }i[{𝔞}_i,{𝔞}_i]\subset {𝔞}_{i+1}.$

• (iv) テンプレート:Math は冪零である。
• (v) テンプレート:Mvar 次元の テンプレート:Math に対して、テンプレート:Math の部分環 テンプレート:Math の有限列が存在して、

  $𝔤={𝔞}_0\supset {𝔞}_1\supset ...{𝔞}_n=0,\mathrm{\forall }i\dim {𝔞}_i/{𝔞}_{i+1}=1,$

かつ各 テンプレート:Math は テンプレート:Math のイデアル。このタイプの列は elementary sequence と呼ばれる。

• (vi) テンプレート:Math の部分環 テンプレート:Math の有限列が存在して、

  $𝔤={𝔤}_0\supset {𝔤}_1\supset ...{𝔤}_r=0,$

かつ テンプレート:Math は テンプレート:Math のイデアルで テンプレート:Math は可換。

• (vii) キリング形式 テンプレート:Math はすべての テンプレート:Math と テンプレート:Math に対して テンプレート:Math を満たす（テンプレート:仮リンク）

性質

テンプレート:仮リンクは以下のようなものである。テンプレート:Math が標数 0 の代数閉体 テンプレート:Math 上の有限次元ベクトル空間で、テンプレート:Math が テンプレート:Math の部分体 テンプレート:Math 上の可解線型リー環で、テンプレート:Math が テンプレート:Mvar 上の テンプレート:Math の表現であれば、すべての元 テンプレート:Math に対する行列 テンプレート:Math の同時固有ベクトル テンプレート:Math が存在する。より一般に、この結果は、すべての テンプレート:Math に対して テンプレート:Math のすべての固有値が テンプレート:Math に入っていれば成り立つ。

• 可解リー環のすべての部分リー環、商環、拡大環は可解である。
• 非零可換リー環は非零可換イデアル、導来列の最後の非零項、を持つ。
• 可解リー環の準同型像は可解である。
• テンプレート:Math が テンプレート:Math の可解イデアルで テンプレート:Math が可解であれば、テンプレート:Math は可解である。
• テンプレート:Math が有限次元であれば、テンプレート:Math のすべての可解イデアルを含む唯一の可解イデアル テンプレート:Math が存在する。このイデアルは テンプレート:Math の根基 (radical) と呼ばれ、テンプレート:Math と記される。
• テンプレート:Math が可解イデアルであれば、テンプレート:Math も可解イデアルである。
• 可解リー環 テンプレート:Math は唯一の最大冪零イデアル テンプレート:Math, テンプレート:Math が冪零なる テンプレート:Math 全体の集合、を持つ。テンプレート:Mvar が テンプレート:Math の任意の derivation であれば、テンプレート:Math である。

Completely solvable Lie algebras

リー環 テンプレート:Math が completely solvable あるいは split solvable とは、テンプレート:Math から テンプレート:Math への テンプレート:Math のイデアルの elementary sequence を持つことをいう。有限次元冪零リー環は completely solvable であり、completely solvable Lie algebra は可解である。代数的閉体上、可解リー環は completely solvable であるが、平面のユークリッド等長写像の群のテンプレート:Math 次元実リー環は可解だが completely solvable ではない。

• (a) 可解リー環 テンプレート:Math が split solvable であることと テンプレート:Math のすべての固有値がすべての テンプレート:Math に対して テンプレート:Math に入ることは同値である。

例

• 0でない半単純リー環は可解ではない。
• すべての可換リー環は可解である。
• すべての冪零リー環は可解である。
• テンプレート:Math を テンプレート:Math の部分環で上三角行列のみからなるとする。このとき テンプレート:Math は可解である。
• テンプレート:Math を

$X=\left(\begin{array}{ccc}0& \theta & x\\ -\theta & 0& y\\ 0& 0& 0\end{array}\right),\theta ,x,y\in ℝ.$

の形の行列全体の集合とする。すると テンプレート:Math は可解であるが split solvable ではない。これは平面の平行移動と回転の群のリー環に同型である。

関連項目

• テンプレート:仮リンク
• キリング形式
• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク

外部リンク

• EoM article Lie algebra, solvable
• EoM article Lie group, solvable

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book.