キリング形式

数学において、ヴィルヘルム・キリング (Wilhelm Killing) の名に因むキリング形式 (Killing form) とは、リー群とリー環の理論において基本的な役割を果たす対称双線型形式である。

歴史と名称

キリング形式は本質的に テンプレート:Harvs によって彼の thesis においてリー環論に導入された。「キリング形式」という名前はテンプレート:仮リンクの1951年の論文において初めに現れたが、彼はなぜその用語を選んだのか覚えていないと2001年に述べた。ボレルは名称が不適切に思われ「カルタン形式」と呼ぶのがより正しいだろうと認めている。ヴィルヘルム・キリングはリー代数の正則半単純元の特性方程式の係数が随伴群のもとで不変であることに気付いていて、そのことからキリング形式（すなわち2次の係数）が不変であることが従う。しかし彼はこの事実をそれほど利用しなかった。カルタンが利用した基本的な結果はテンプレート:仮リンクで、これはキリング形式が非退化であることとリー環が単純リー環の直和であることが同値であるというものである。

定義

体 テンプレート:Mvar 上のリー環 テンプレート:Math を考える。テンプレート:Math の任意の元 テンプレート:Math は テンプレート:Math の随伴自己準同型 テンプレート:Math （テンプレート:Math とも書かれる）をリーブラケットを用いて

$\mathrm{a}\mathrm{d}(x)(y)=[x,y]$

と定義する。今、テンプレート:Math を有限次元とすると、2つのそのような自己準同型の合成のトレースは テンプレート:Mvar に値を持つ対称双線型形式

$B(x,y)=\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}(\mathrm{a}\mathrm{d}(x)\mathrm{a}\mathrm{d}(y))$

を定義する。これが テンプレート:Math 上のキリング形式 (Killing form) である

性質

• キリング形式 テンプレート:Math は双線型かつ対称である。
• キリング形式は「結合」性

$B([x,y],z)=B(x,[y,z]),$

を持つという意味で不変形式である。ここで [ , ] はリーブラケットである。

• テンプレート:Math が単純リー環であれば、テンプレート:Math 上の任意の不変対称双線型形式はキリング形式のスカラー倍である。
• キリング形式はリー環 テンプレート:Math の自己同型 テンプレート:Math のもとでも不変である、つまり

$B(s(x),s(y))=B(x,y)$

が テンプレート:Math に対して成り立つ。

• テンプレート:仮リンクは、リー環が半単純であることとキリング形式が非退化であることが同値であるというものである。
• 冪零リー環のキリング形式は恒等的に 0 である。
• テンプレート:Math がリー環 テンプレート:Math の2つのイデアルで交わりが 0 ならば、テンプレート:Math と テンプレート:Math はキリング形式に関して直交する部分空間である。
• イデアルの テンプレート:Math についての直交補空間は再びイデアルである。
• 与えられたリー代数 テンプレート:Math がイデアル テンプレート:Math の直和であれば、テンプレート:Math のキリング形式は個々の成分のキリング形式の直和である。

行列要素

リー環 テンプレート:Math の基底 テンプレート:Math が与えられると、キリング形式の行列要素は

$B^{ij}=\mathrm{t}\mathrm{r}(\mathrm{a}\mathrm{d}(e^i)\circ \mathrm{a}\mathrm{d}(e^j))/I_{ad}$

によって与えられる。ただし テンプレート:Math は テンプレート:Math の随伴表現のテンプレート:仮リンクである。ここで

$(\text{ad}(e^i)\circ \text{ad}(e^j))(e^k)=[e^i,[e^j,e^k]]=[e^i,{c^{jk}}_m{e}^m]={c^{im}}_n{c^{jk}}_m{e}^n$

がアインシュタインの縮約記法を用いて成り立つ。ただし テンプレート:Math はリー環の構造係数である。添え字 テンプレート:Math は行列 テンプレート:Math の列の添え字として、添え字 テンプレート:Math は行の添え字として機能する。トレースを取ることは テンプレート:Math として和を取ることだから、

$B^{ij}=\frac{1}{I_{ad}}{c^{im}}_n{c^{jn}}_m$

と書くことができる。キリング形式は構造定数から構成できる最も単純な2階テンソルである。

上の添え字の付いた定義において、上と下の添え字（共変と反変の添え字）に注意する。多くの場合において、キリング形式は多様体上の計量テンソルとして使うことができ、このとき区別がテンソルの変換性質のために重要になるからである。リー環が標数 0 の体上の半単純リー環であれば、キリング形式は非退化であり、したがって添え字を上げ下げするのに計量テンソルとして使うことができる。この場合、すべての上の添え字の構造定数が完全反対称となるような テンプレート:Math の基底を選ぶことが必ずできる。

いくつかのリー環 テンプレート:Math に対するキリング形式（テンプレート:Math):

テンプレート:Math	テンプレート:Math
テンプレート:Math	テンプレート:Math
テンプレート:Math	テンプレート:Math
テンプレート:Math	テンプレート:Math
テンプレート:Math	テンプレート:Math
テンプレート:Math	テンプレート:Math
テンプレート:Math	テンプレート:Math
テンプレート:Math	テンプレート:Math

実形との関係

テンプレート:Math を実数体上の半単純リー環とする。テンプレート:仮リンクによって、キリング形式は非退化であり、適当な基底によって対角成分が ±1 の対角行列に対角化できる。シルヴェスターの慣性法則によって、正の成分の個数は双線型形式の不変量である、すなわち、対角化する基底の取り方に依らない。その個数をリー環 テンプレート:Math の指数 (index) と呼ぶ。これは テンプレート:Math と テンプレート:Math の次元の間の数であり、実リー環の重要な不変量である。とくに、実リー環 テンプレート:Math は、キリング形式が負定値のときコンパクト (compact) と呼ばれる。テンプレート:仮リンクのもと、テンプレート:仮リンクはコンパクトリー群に対応することが知られている。

テンプレート:Math が複素数体上の半単純リー環であれば、テンプレート:仮リンクが テンプレート:Math となるようないくつかの非同型な実リー環が存在する。これらをその実形 (real form) と呼ぶ。任意の複素半単純リー環には（同型の違いを除いて）一意的なコンパクト実形 テンプレート:Math があることが分かる。与えられた複素半単純リー環の実形はしばしばキリング形式の inertia の正の指数によってラベルづけされる。

例えば、複素特殊線型環 テンプレート:Math は2つの実形を持つ。1つは実特殊線型環 テンプレート:Math であり、もう1つは特殊ユニタリ環 テンプレート:Math である。前者は非コンパクトであり、いわゆる split real form であり、そのキリング形式の符号は テンプレート:Math である。後者はコンパクト実形でありそのキリング形式は負定値である、すなわち符号 テンプレート:Math を持つ。対応するリー群はそれぞれ、行列式が1の テンプレート:Math 実行列の非コンパクト群 テンプレート:Math と、コンパクトな特殊ユニタリ群 テンプレート:Math である。

関連項目

• テンプレート:仮リンク

参考文献

• テンプレート:Cite book
• Daniel Bump, Lie Groups (2004), Graduate Texts In Mathematics, 225, Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-21154-1
• テンプレート:Citation
• Jurgen Fuchs, Affine Lie Algebras and Quantum Groups, (1992) Cambridge University Press. ISBN 0-521-48412-X
• テンプレート:Fulton-Harris
• テンプレート:SpringerEOM