可逆層のソースを表示

[[数学]]において，'''可逆層'''（かぎゃくそう，{{lang-en-short|invertible sheaf}}）とは，[[環付き空間]] {{mvar|X}} 上の[[連接層]] {{mvar|S}} であって，{{mvar|O{{sub|X}}}} [[加群のテンソル積]]に関して逆元 {{mvar|T}} が存在するものである．可逆層は[[直線束]]という位相的な概念の[[代数幾何学]]における対応物である．{{仮リンク|カルティエ因子|en|Cartier divisor}}との相互作用のため，[[代数多様体]]の研究で中心的な役割を果たす．

==定義==
'''可逆層''' (invertible sheaf) とは，[[環付き空間]] {{mvar|X}} 上の[[連接層]] {{mvar|S}} であって，{{mvar|O{{sub|X}}}} [[加群のテンソル積]]に関して逆元 {{mvar|T}} が存在するものである，つまり，{{mvar|O{{sub|X}}}} に同型な
:<math>S \otimes T\ </math>
があって，テンソル積について[[単位元]]として働く．最も重要な場合は[[代数幾何学]]と[[複素多様体]]論から来る場合である．それらの理論における可逆層は実際には適切に定式化された[[直線束]]である．

実際，可逆層の[[スキーム論]]における抽象的な定義は''局所自由で階数 1''という条件に置き換えることができる．つまり，テンソルの逆元の条件はすると，{{mvar|X}} 上局所的に，{{mvar|S}} が[[可換環]]上の階数 1 の自由加群のなす層であることを導く．例は[[代数的整数論]]における[[分数イデアル]]から来，定義はその理論を捉える．より一般に，{{mvar|X}} が[[アフィンスキーム]] {{math|Spec(''R'')}} であるとき，可逆層は {{mvar|R}} 上の階数 1 の[[射影加群]]から来る．

==ピカール群==
{{main|ピカール群}}
極めて一般的に，{{mvar|X}} 上の可逆層の同型類たち自身がテンソル積の下で[[アーベル群]]をなす．この群は[[イデアル類群]]を一般化する．一般にそれは，{{math|Pic}} を{{仮リンク|ピカール関手|en|Picard functor}}として
:<math>\mathrm{Pic}(X)\ </math>
と書かれる．それは[[代数曲線]]の[[ヤコビ多様体]]の理論も含んでいるから，この関手の研究は代数幾何学において主要な問題である．

{{mvar|X}} 上のデータによる可逆層の直接構成は[[カルティエ因子]]の概念を導く．

==関連項目==
* {{仮リンク|代数幾何学におけるベクトル束|en|Vector bundles in algebraic geometry}}
* [[直線束]]
* [[第一チャーン類]]
* [[ピカール群]]
* {{仮リンク|バーコフ・グロタンディークの定理|en|Birkhoff-Grothendieck theorem}}

==参考文献==
*Section 0.5.4 of {{EGA|book=I}}

{{DEFAULTSORT:かきやくそう}}
[[Category:因子の幾何学]]
[[Category:層の理論]]
[[Category:数学に関する記事]]