右連続左極限のソースを表示

[[数学]]における'''右連続左極限関数'''（みぎれんぞくひだりきょくげんかんすう、{{lang-en-short|right continuous with left limits, '''RCLL'''}}; {{lang-fr-short|continue à droite, limite à gauche, '''càdlàg'''}}）は、[[実数直線]]上で（あるいはその部分集合上で）定義された関数で、至る所{{仮リンク|右連続|en|right-continuous}}かつ[[片側極限|左極限]]を持つものを言う。右連続左極限関数は、（連続なパスを持つ[[ウィーナー過程|ブラウン運動]]とは異なり）パスの跳びを許す（あるいは要求する）[[確率過程]]の研究において重要である。与えられた[[定義域]]上の右連続左極限関数全体の成す集合は'''スコロホッド空間''' (''Skorokhod space'') と呼ばれる。

これと関連する二つの概念に、左右を入れ替えた左連続右極限関数と、定義域の各点において片側連続片側極限関数がある。

== 定義 ==
[[Image:Discrete probability distribution illustration.png|right|thumb|[[累積分布函数]]は càdlàg 函数である。]]

[[距離空間]] {{math|(''M'', ''d'')}} および {{math|''E'' ⊆ '''R'''}} に対して、関数 {{math|''ƒ'': ''E'' → ''M''}} が'''右連続左極限''' (càdlàg) であるとは、任意の {{math|''t'' ∈ ''E''}} において
* [[左極限]] {{math|''ƒ''(''t−'') :{{=}} lim<sub>''s↑t''</sub>&thinsp;''ƒ''(''s'')}} が存在し、
* [[右極限]] {{math|''ƒ''(''t+'') :{{=}} lim<sub>''s↓t''</sub>&thinsp;''ƒ''(''s'')}} が存在してかつ {{math|''ƒ''(''t'')}} に等しい
ときにいう。つまり、càdlàg 函数 {{mvar|''ƒ''}} は右連続かつ左極限を持つ。

== 例 ==
* 任意の連続函数は càdlàg である。
* 定義により任意の[[累積分布函数|累積分布関数]]は càdlàg である。例えば点 {{mvar|r}} における累積値は {{mvar|r}} 以下であるような確率 {{math|''P''(''x'' &le; ''r'')}} に対応する。言い換えれば、両側分布に対して考える[[半開区間]] {{math|(&minus;∞, ''r'']}} は右閉である。
* 開区間上定義された任意の[[凸函数|凸関数]] {{mvar|f}} の[[右微分]] {{math|''f<sub>+</sub>{{'}}''}} は単調増大 càdlàg 関数である。

== スコロホッド空間 ==
{{mvar|E}} から {{mvar|M}} への càdlàg 関数全体の成す空間をしばしば {{math|''D''(''E''; ''M'')}} あるいは単に {{mvar|D}} と書いて、'''スコロホッド空間''' (''Skorokhod space'') と呼ぶ（[[ソビエト連邦|ソヴィエト]]の数学者{{仮リンク|アナトリー・スコロホッド|en|Anatoliy Skorokhod}}に因む）。スコロホッド空間には、直観的に言えば「時間と空間を少し飛び跳ねる」こと ("wiggle space and time a bit") が許されるような[[位相空間|位相]]を入れることができる（旧来的な[[一様収束]]の位相では「空間を少し飛び跳ねる」ことしかできない）。簡単のため、{{math|''E'' {{=}} [0, ''T'']}} および {{math|''M'' {{=}} '''R'''<sup>''n''</sup>}} ととる（より一般の構成については文献 {{harv|Billingsley|1995}}を見よ）。

まずは{{仮リンク|連続度|en|modulus of continuity}}に対応する類似の概念 {{math|''ϖ′<sub>ƒ</sub>''(''δ'')}} を定義せねばならない。任意の {{math|''F'' ⊆ ''E''}} に対して、
: <math>w_{f} (F) := \sup_{s, t \in F} | f(s) - f(t) |</math>
とおき、{{math|''δ'' > 0}} に対して''' càdlàg 度''' ('''càdlàg modulus''') を
: <math>\varpi'_{f} (\delta) := \inf_{\Pi} \max_{1 \leq i \leq k} w_{f} ([t_{i - 1}, t_{i}))</math>
なるものと定める。ただし、[[下限]]は任意の分割 {{math|Π {{=}} {0 {{=}} ''t''<sub>0</sub> < ''t''<sub>1</sub> < … < ''t<sub>k</sub> {{=}} T''} (''k'' ∈ '''N''', かつmin<sub>''i''</sub>&thinsp;(''t<sub>i</sub> − t''<sub>''i''−1</sub>) > ''δ'')}} に亙って取る。この定義は（通常の連続度が不連続関数に対して意味を持つのと同様に）càdlàg でない {{mvar|ƒ}} に対しても意味を持ち、{{mvar|ƒ}} が càdlàg であるための[[必要十分条件]]は {{math|''ϖ′<sub>ƒ</sub>''(''δ'') → 0 (as ''δ'' → 0)}} であることが示せる。

いま、{{mvar|Λ}} は {{mvar|E}} から {{mvar|E}} への[[狭義単調増大]]連続[[全単射]]（これらは「時間を飛び跳ねる」）全体の成す集合とする。{{mvar|E}} 上の一様ノルムを
: <math>\| f \| := \sup_{t \in E} | f(t) |</math>
と書くとき、{{mvar|D}} 上の'''スコロホッド距離''' (''Skorokhod metric'') {{mvar|σ}} を
: <math>\sigma (f, g) := \inf_{\lambda \in \Lambda} \max \{ \| \lambda - I \|, \| f - g \circ \lambda \| \}</math>
と定める。ここで {{math|''I'': ''E'' → ''E''}} は恒等写像である。直観的な「飛び跳ね」("wiggle") の言葉で言えば、{{math|{{!!}}''λ − I''{{!!}}}} は「時間を飛び跳ねる」大きさを測るものであり、{{math|{{!!}}''ƒ − g&thinsp;∘&thinsp;λ''{{!!}}}} は「空間を飛び跳ねる」大きさを測るものである。

このスコロホッド距離函数 {{mvar|σ}} が実際に[[距離函数|距離関数]]となることが示せる。{{mvar|σ}} の生成する位相 {{mvar|Σ}} を {{mvar|D}} 上の'''スコロホッド位相'''と呼ぶ。

== スコロホッド空間の性質 ==

=== 一様位相の一般化 ===
{{mvar|E}} 上の連続関数の空間 {{mvar|C}} は {{mvar|D}} の[[部分位相空間|部分空間]]であり、スコロホッド位相を {{mvar|C}} に相対化したものは、{{mvar|C}} 上の一様位相に一致する。

=== コンパクト性 ===
{{mvar|D}} はスコロホッド距離 {{mvar|σ}} に関して[[完備距離空間|完備]]でない {{harv|Billingsley|1999}} けれども、位相的に同値な距離 {{math|''σ''<sub>0</sub>}} が存在して {{mvar|D}} が完備となるようにすることができる。

=== 可分性 ===
{{mvar|σ}} あるいは {{math|''σ''<sub>0</sub>}} の何れに関しても {{mvar|D}} は[[可分空間|可分]]である。従って、スコロホッド空間は[[ポーランド空間]]である。

=== スコロホッド空間の緊密性 ===
[[アスコリ＝アルツェラの定理|アルツェラ&ndash;アスコリの定理]]を応用して、スコロホッド空間 {{mvar|D}} 上の[[確率測度]]の列 {{math|1=(''μ<sub>n</sub>'')<sub>''n''=1,2,…</sub>}} が[[測度の緊密性|緊密]]であるための必要十分条件は以下の二条件:
: <math>\lim_{a \to \infty} \limsup_{n \to \infty} \mu_{n}\big( \{ f \in D \;|\; \| f \| \geq a \} \big) = 0</math>
および
: <math>\lim_{\delta \to 0} \limsup_{n \to \infty} \mu_{n}\big( \{ f \in D \;|\; \varpi'_{f} (\delta) \geq \varepsilon \} \big) = 0\text{ for all }\varepsilon > 0</math>
を満足することであることが示せる。

=== 代数構造および位相構造 ===
スコロホッド位相および関数の点ごとの和のもとで、{{mvar|D}} は位相群を成さない。これは例えば
: {{math|1= ''E'' = [0,2)}} を単位区間として、{{math|''f''{{msub|''n''}} {{=}} &chi;{{msub|[1-1/n,2)}} &isin; ''D''}} は指示関数の列とする。スコロホッド位相に関して {{math|''f''{{msub|''n''}} → &chi;{{sub|[1,2)}}}} という事実にも拘らず、関数列 {{math|''f''{{msub|''n''}} &minus; &chi;{{msub|[1,2)}}}} は 0 に収束しない。
のような例がある。

== 参考文献 ==
* {{cite book | author=Billingsley, Patrick | title=Probability and Measure | publisher=John Wiley & Sons, Inc. | location=New York, NY | year=1995 | isbn=0-471-00710-2}}
* {{cite book | author=Billingsley, Patrick | title=Convergence of Probability Measures | publisher=John Wiley & Sons, Inc. | location=New York, NY | year=1999 | isbn=0-471-19745-9}}

{{DEFAULTSORT:みきれんそくひたりきよくけん}}
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