右連続左極限

数学における右連続左極限関数（みぎれんぞくひだりきょくげんかんすう、テンプレート:Lang-en-short; テンプレート:Lang-fr-short）は、実数直線上で（あるいはその部分集合上で）定義された関数で、至る所テンプレート:仮リンクかつ左極限を持つものを言う。右連続左極限関数は、（連続なパスを持つブラウン運動とは異なり）パスの跳びを許す（あるいは要求する）確率過程の研究において重要である。与えられた定義域上の右連続左極限関数全体の成す集合はスコロホッド空間 (Skorokhod space) と呼ばれる。

これと関連する二つの概念に、左右を入れ替えた左連続右極限関数と、定義域の各点において片側連続片側極限関数がある。

定義

累積分布函数は càdlàg 函数である。

距離空間 テンプレート:Math および テンプレート:Math に対して、関数 テンプレート:Math が右連続左極限 (càdlàg) であるとは、任意の テンプレート:Math において

• 左極限 テンプレート:Math が存在し、
• 右極限 テンプレート:Math が存在してかつ テンプレート:Math に等しい

ときにいう。つまり、càdlàg 函数 テンプレート:Mvar は右連続かつ左極限を持つ。

例

• 任意の連続函数は càdlàg である。
• 定義により任意の累積分布関数は càdlàg である。例えば点 テンプレート:Mvar における累積値は テンプレート:Mvar 以下であるような確率 テンプレート:Math に対応する。言い換えれば、両側分布に対して考える半開区間 テンプレート:Math は右閉である。
• 開区間上定義された任意の凸関数 テンプレート:Mvar の右微分 テンプレート:Math は単調増大 càdlàg 関数である。

スコロホッド空間

テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への càdlàg 関数全体の成す空間をしばしば テンプレート:Math あるいは単に テンプレート:Mvar と書いて、スコロホッド空間 (Skorokhod space) と呼ぶ（ソヴィエトの数学者テンプレート:仮リンクに因む）。スコロホッド空間には、直観的に言えば「時間と空間を少し飛び跳ねる」こと ("wiggle space and time a bit") が許されるような位相を入れることができる（旧来的な一様収束の位相では「空間を少し飛び跳ねる」ことしかできない）。簡単のため、テンプレート:Math および テンプレート:Math ととる（より一般の構成については文献 テンプレート:Harvを見よ）。

まずはテンプレート:仮リンクに対応する類似の概念 テンプレート:Math を定義せねばならない。任意の テンプレート:Math に対して、

$w_f(F):=\underset{s,t\in F}{\sup }|f(s)-f(t)|$

とおき、テンプレート:Math に対して càdlàg 度 (càdlàg modulus) を

$\varpi {\text{'}}_f(\delta ):=\underset{\mathrm{\Pi }}{\inf }\underset{1\le i\le k}{\max }{w}_f([t_{i-1},t_i))$

なるものと定める。ただし、下限は任意の分割 テンプレート:Math に亙って取る。この定義は（通常の連続度が不連続関数に対して意味を持つのと同様に）càdlàg でない テンプレート:Mvar に対しても意味を持ち、テンプレート:Mvar が càdlàg であるための必要十分条件は テンプレート:Math であることが示せる。

いま、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への狭義単調増大連続全単射（これらは「時間を飛び跳ねる」）全体の成す集合とする。テンプレート:Mvar 上の一様ノルムを

$\Vert f\Vert :=\underset{t\in E}{\sup }|f(t)|$

と書くとき、テンプレート:Mvar 上のスコロホッド距離 (Skorokhod metric) テンプレート:Mvar を

$\sigma (f,g):=\underset{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{\inf }\max \{\Vert \lambda -I\Vert ,\Vert f-g\circ \lambda \Vert \}$

と定める。ここで テンプレート:Math は恒等写像である。直観的な「飛び跳ね」("wiggle") の言葉で言えば、テンプレート:Math は「時間を飛び跳ねる」大きさを測るものであり、テンプレート:Math は「空間を飛び跳ねる」大きさを測るものである。

このスコロホッド距離函数 テンプレート:Mvar が実際に距離関数となることが示せる。テンプレート:Mvar の生成する位相 テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar 上のスコロホッド位相と呼ぶ。

スコロホッド空間の性質

一様位相の一般化

テンプレート:Mvar 上の連続関数の空間 テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の部分空間であり、スコロホッド位相を テンプレート:Mvar に相対化したものは、テンプレート:Mvar 上の一様位相に一致する。

コンパクト性

テンプレート:Mvar はスコロホッド距離 テンプレート:Mvar に関して完備でない テンプレート:Harv けれども、位相的に同値な距離 テンプレート:Math が存在して テンプレート:Mvar が完備となるようにすることができる。

可分性

テンプレート:Mvar あるいは テンプレート:Math の何れに関しても テンプレート:Mvar は可分である。従って、スコロホッド空間はポーランド空間である。

スコロホッド空間の緊密性

アルツェラ–アスコリの定理を応用して、スコロホッド空間 テンプレート:Mvar 上の確率測度の列 テンプレート:Math が緊密であるための必要十分条件は以下の二条件:

$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{\mu }_n(\{f\in D|\Vert f\Vert \ge a\})=0$

および

$\underset{\delta \to 0}{\lim }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{\mu }_n(\{f\in D|\varpi {\text{'}}_f(\delta )\ge \epsilon \})=0\text{ for all }\epsilon >0$

を満足することであることが示せる。

代数構造および位相構造

スコロホッド位相および関数の点ごとの和のもとで、テンプレート:Mvar は位相群を成さない。これは例えば

テンプレート:Math を単位区間として、テンプレート:Math は指示関数の列とする。スコロホッド位相に関して テンプレート:Math という事実にも拘らず、関数列 テンプレート:Math は 0 に収束しない。

のような例がある。

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book