合同ゼータ関数のソースを表示

{{要改訳}}
数学において、{{mvar|q}} 個の元をもつ有限体 {{math|'''F'''<sub>''q''</sub>}} 上で定義された[[非特異]]射影代数多様体 {{mvar|V}} の'''合同ゼータ関数''' (congruent zeta function) {{math|''Z''(''V'', ''s'')}}（または'''局所ゼータ関数''' (local zeta function)）とは、{{mvar|N<sub>m</sub>}} を {{math|'''F'''<sub>''q''</sub>}} の {{mvar|m}} 次拡大体 {{math|'''F'''<sub>''q''<sup>''m''</sup></sub>}} 上の {{mvar|V}} の（有理）点の数（定義方程式の解の個数）としたとき、
:<math>Z(V, s) = \exp\left(\sum_{m = 1}^\infty \frac{N_m}{m} (q^{-s})^m\right)</math>
で定義される。変数変換 {{math|''u'' {{=}} ''q''<sup>-1</sup>}} を行うと、これは {{mvar|u}} の[[形式的冪級数]]として
:<math>
\mathit{Z} (V,u) = \exp 
\left( \sum_{m=1}^{\infty} N_m \frac{u^m}{m} \right)
</math>
で定義される。

あるいは同じことだが、 
:<math>
(1)\ \ \mathit{Z} (V,0) = 1</math>
:<math>(2)\ \ \frac{d}{du} \log \mathit{Z} (V,u) = \sum_{m=1}^{\infty} N_m u^{m-1}</math>
が定義に採用されることもある。
<!--== the definition for general algebraic varaieties ==

Suppose that ''V'' is a [[non-singular]] ''n''-dimensional [[projective algebraic variety]] over the field '''F'''<sub>''q''</sub> with ''q'' elements. The '''local zeta function''' ''Z''(''V'',&nbsp;''s'') of ''X'' (or, sometimes called the '''congruent zeta function''') is by definition

:<math>Z(X, s) = \exp\left(\sum_{m = 1}^\infty \frac{N_m}{m} (q^{-s})^m\right)</math>

where ''N''<sub>''m''</sub>  is the number of points of ''V'' defined over the degree ''m'' extension '''F'''<sub>''q''<sup>''m''</sup></sub> of '''F'''<sub>''q''</sub>. By the variable transformation <math>u=q^{-1}</math>, then it is defined
:<math>
\mathit{Z} (V,u) = \exp 
\left( \sum_{m=1}^{\infty} N_m \frac{u^m}{m} \right)
</math>
as the [[formal power series]] of the variable ''u''.

Equivalently, sometimes it is defined as follows: 
:<math>
(1)\ \ \mathit{Z} (V,0) = 1 \,
</math>
:<math>
(2)\ \ \frac{d}{du} \log \mathit{Z} (V,u) = \sum_{m=1}^{\infty} N_m u^{m-1}\ .</math>-->
言い換えると、合同ゼータ関数 {{math|''Z''(''V'', ''u'')}} とは、[[有限体]] {{math|''F''}} 上で {{mvar|V}} を定義する方程式の {{math|''F''}} の {{mvar|k}} 次拡大体 {{math|''F''<sub>''k''</sub>}} における解の数の[[母関数|生成母関数]]が、{{math|''Z''(''V'', ''u'')}} の[[対数微分]]となるような関数とも定義できる。
<!--In [[number theory]], a '''local zeta-function''' 

:''Z''(''-t'') 

is a function whose [[logarithmic derivative]] is a [[generating function]]
for the number of solutions of a set of equations defined over a [[finite field]] ''F'', in extension fields ''F<sub>k</sub>'' of ''F''.-->

==定式化==
有限体 {{math|''F'' {{=}} '''F'''<sub>''q''</sub>}} が与えられたとき、自然数 {{math|''k'' {{=}} 1, 2, ...}} に対し、拡大次数が {{math|[&thinsp;''F''<sub>''k''</sub> : ''F''&thinsp;] {{=}} ''k''}} である体 {{math|''F''<sub>''k''</sub> {{=}} '''F'''<sub>''q<sup>k</sup>''</sub>}} が[[同型]]を除き一意に存在する。{{math|''F''}} 上の多項式からなる方程式系、あるいは、[[代数多様体]] {{mvar|V}} が与えられると、{{math|''F''<sub>''k''</sub>}} における解の数 {{mvar|N<sub>k</sub>}} を数えることができ、その生成母関数
:<math>G(t) = N_1t + N_2t^2/2 + N_3t^3/3 +\dotsb</math>
を作ることができる。

局所ゼータ関数 {{math|''Z''(''t'')}} の定義は、{{math|log ''Z''}} が {{mvar|G}} に等しくなるようにする。つまり、
:<math>Z(t) = \exp (G(t))</math>
とする。

{{math|''G''(0) {{=}} 0}} だから {{math|''Z''(0) {{=}} 1}} である。また、{{math|''Z''(''t'')}} はア・プリオリに[[形式的冪級数]]である。

{{math|''Z''(''t'')}} の[[対数微分]]
:<math>Z'(t)/Z(t)</math>
は、生成母関数 {{math|''G''(''t'')}} の微分
:<math>G'(t) = N_1 +N_2t^1 + N_3t^2 +\dotsb</math>
に等しい。
<!--==Formulation==

Given ''F'', there is, up to [[isomorphism]], just one field ''F<sub>k</sub>'' with 

:<math>[ F_k : F ] = k \,</math>,

for ''k'' = 1, 2, ... . Given a set of polynomial equations &mdash; or an [[algebraic variety]] ''V'' &mdash; defined over ''F'', we can count the number 

:<math>N_k \,</math>

of solutions in ''F<sub>k</sub>'' and create the generating function

:<math>G(t) = N_1t +N_2t^2/2 + N_3t^3/3 +\cdots \,</math>.

The correct definition for ''Z''(''t'') is to make log ''Z'' equal to ''G'', and so 

:<math>Z= \exp (G(t)) \, </math>

we will have ''Z''(0) = 1 since ''G''(0) = 0, and ''Z''(''t'') is ''a priori'' a [[formal power series]].

Note that the [[logarithmic derivative]] 

:<math>Z'(t)/Z(t) \,</math>

equals the generating function

:<math>G'(t) = N_1 +N_2t^1 + N_3t^2 +\cdots \,</math>.-->

==例==
まず、一点からなる多様体を考え、多様体の定義方程式を {{math|''X'' {{=}} 0}} とする。この定義方程式は、拡大次数 {{mvar|k}} がどのような値であっても、方程式の解の数は、{{math|''N<sub>k</sub>'' {{=}} 1}} となる。このことから全ての {{mvar|k}} に対し、形式的べき級数の各係数が {{math|1}} である場合と、{{mvar|V}} を一点からなる多様体として取ることとが対応する。従って、
:<math>G(t) = -\log(1 - t)</math>
は、{{math|{{!}}''t''&thinsp;{{!}} &lt; 1}} に対する対数の展開であり、
:<math>Z(t) = \frac{1}{(1 - t)}</math>
となる。

さらに興味深い例は、{{mvar|V}} を {{mvar|F}} 上の[[射影直線]](projective line)としたときである。{{math|''F''}} が {{mvar|q}} 個の元を持つとすると、この多様体は {{math|''q'' + 1}} 個の点を持ち、この {{math|+1}} 個は[[無限遠点]]と考えるべきである。このことから、
:<math>N_k = q^k + 1</math>
となり、{{math|{{!}}''t''&thinsp;{{!}} }}が充分小さいとき、
:<math>G(t) = -\log(1 - t) -\log(1 - qt)</math>
となることが分かる。

この場合には、
:<math>Z(t) = \frac{1}{(1 - t)(1 - qt)}</math>
となる。
<!--==Examples==

For example, assume all the ''N<sub>k</sub>'' are 1; this happens for example if we start with an equation like ''X'' = 0, so that geometrically we are taking ''V'' a point. Then 

:''G''(''t'') = &minus;log(1 &minus; ''t'')

is the expansion of a logarithm (for |''t''| < 1). In this case we have

:Z(''t'') = 1/(1 &minus; ''t''). 

To take something more interesting, let ''V'' be the [[projective line]] over ''F''. If ''F'' has ''q'' elements, then this has ''q'' + 1 points, including as we must the one [[point at infinity]]. Therefore we shall have

:''N<sub>k</sub>'' = ''q<sup>k</sup>'' + 1

and 

:G(''t'') = &minus;log(1 &minus; ''t'') &minus; log(1 &minus; ''qt''),

for |''t''| small enough.

In this case we have

:''Z''(''t'') = 1/{(1 &minus; ''t'')(1 &minus; ''qt'')}.-->

これらの関数を最初に研究したのは、1923年の[[エミール・アルティン]](Emil Artin)であった。彼は、[[超楕円曲線]]の場合の結果を得て、さらに曲線一般への適用として、理論の主要な点を予想とした。この理論は、F. K. シュミット(F. K. Schmidt)と[[ヘルムート・ハッセ]](Helmut Hasse)により開発された。<ref>[[Daniel Bump]], ''Algebraic Geometry'' (1998), p. 195.</ref> 局所ゼータ関数の非自明で最初な例は、[[カール・フリードリヒ・ガウス]](Carl Friedrich Gauss)の'''[[:en:Disquisitiones Arithmeticae|Disquisitiones Arithmeticae]]'''の論文 358 により、暗に与えられていた。[[虚数乗法]]をもつ有限体上の[[楕円曲線]]の特別な例は、[[1の冪根|円分の方法]](cyclotomy)により、それらの解の個数を数えることができる。<ref>[[Barry Mazur]], ''Eigenvalues of Frobenius acting on algebraic varieties over finite fields'', p. 244 in ''Algebraic Geometry, Arcata 1974: Proceedings American Mathematical Society'' (1974).</ref>

定義やいくつかの例については、<ref>[[Robin Hartshorne]], ''Algebraic Geometry'', p. 449 Springer 1977 APPENDIX C "The Weil Conjectures"</ref>も参照。
<!--The first study of these functions was in the 1923 dissertation of [[Emil Artin]]. He obtained results for the case of [[hyperelliptic curve]], and conjectured the further main points of the theory as applied to curves. The theory was then developed by [[F. K. Schmidt]] and [[Helmut Hasse]].<ref>[[Daniel Bump]], ''Algebraic Geometry'' (1998), p. 195.</ref> The earliest known non-trivial cases of local zeta-functions were implicit in [[Carl Friedrich Gauss]]'s ''[[Disquisitiones Arithmeticae]]'', article 358; there certain particular examples of [[elliptic curve]]s over finite fields having [[complex multiplication]] have their points counted by means of [[cyclotomy]].<ref>[[Barry Mazur]], ''Eigenvalues of Frobenius'', p. 244 in ''Algebraic Geometry, Arcata 1974: Proceedings American Mathematical Society'' (1974).</ref>

For the definition and some examples, see also <ref>[[Robin Hartshorne]], ''Algebraic Geometry'', p. 449 Springer 1977 APPENDIX C "The Weil Conjectures"</ref>.-->

==動機==
{{mvar|G}} と {{mvar|Z}} の定義の間の関係は、多くの方法で説明することができる（例えば、以下の {{mvar|Z}} の無限積の公式を参照）。実際は、（一般の代数多様体に対しても、）この方法は、{{mvar|V}} が有限体上の[[楕円曲線]] {{mvar|V}} の場合のように、{{mvar|Z}} は {{mvar|t}} の[[有理関数]]となっている。

関数 {{mvar|Z}} は多重のとなっていて、'''大域的ゼータ関数'''(global zeta function)を得る。これらは、異なる有限体を意味していて、{{mvar|p}} が全ての[[素数]]を渡るときの体 {{math|'''Z'''/''p'''''Z'''}} の族の全体を意味している。これらの関係の中で、変数 {{mvar|t}} は {{math|''p''<sup>-''s''</sup>}} が代入される。この {{mvar|s}} は[[ディリクレ級数]]に使われる伝統的な複素数変数である。詳細は[[ハッセ・ヴェイユのゼータ関数]]を参照。

このように理解すると、例で使われた 2つの場合の {{mvar|Z}} の積は、<math>\zeta(s)</math> と <math>\zeta(s)\zeta(s-1)</math> となる。
<!--==Motivations==

The relationship between the definitions of ''G'' and ''Z'' can be explained in a number of ways. (See for example the infinite product formula for ''Z'' below.) In practice it makes ''Z'' a [[rational function]] of ''t'', something that is interesting even in the case of ''V'' an [[elliptic curve]] over  finite field. 

It is the functions ''Z'' that are designed to multiply, to get '''global zeta functions'''. Those involve different finite fields (for example the whole family of fields '''Z'''/''p'''''Z''' as ''p'' runs over all [[prime number]]s). In that connection, the variable ''t'' undergoes substitution by ''p<sup>-s</sup>'', where ''s'' is the complex variable traditionally used in [[Dirichlet series]]. (For details see [[Hasse-Weil zeta function|Hasse-Weil zeta-function]].) 

With that understanding, the products of the ''Z'' in the two cases used as examples come out as <math>\zeta(s)</math> and <math>\zeta(s)\zeta(s-1)</math>.-->

==有限体上の曲線のリーマン予想==

{{math|''F''}} 上の[[非特異]]な射影曲線 {{mvar|C}} に対し、{{mvar|g}} を曲線 {{mvar|C}} の[[種数]]とし、{{math|''P''(''t'')}} を曲線を定義する次数 {{math|2''g''}} の多項式とすると、
:<math>Z(t) = \frac{P(t)}{(1 - t)(1 - qt)}</math>
となる。
:<math>P(t)=\prod^{2g}_{i=1}(1-\omega_i u)</math>
と書くと、'''有限体上の曲線のリーマン予想'''は、
:<math>|\omega_i|=q^{1/2}</math>
となるということを言う。

例えば、楕円曲線の場合は、2つの根を持っていて、根の絶対値が {{math|''q''<sup>1/2</sup>}} であることを容易にしめすことができる。[[楕円曲線のハッセの定理]]は、2つの根が同じ絶対値を持ち、このことは（楕円曲線の）点の数の直接的な結果であることを言っている。

[[アンドレ・ヴェイユ]](André Weil)は1940年頃、このことを一般的な場合に証明した (''Comptes Rendus'' note, April 1940) が、[[代数幾何学]]を建設するために多くの時間を注ぎ込んだ。このことから、彼は[[ヴェイユ予想]]へ至り、グロタンディエク(Grothendieck)はこの予想の解決のため、[[スキーム]]論を開発し、最終的に予想は後に、ドリーニュ(Deligne)により証明されることとなった。一般論の基本公式については、[[エタールコホモロジー]]を参照。
<!--==Riemann hypothesis for curves over finite fields==

For projective curves ''C'' over ''F'' that are [[non-singular]], it can be shown that 

:''Z''(''t'') = ''P''(''t'')/{(1 &minus; ''t'')(1 &minus; ''qt'')}, 

with ''P''(''t'') a polynomial, of degree 2''g'' where ''g'' is the [[genus (mathematics)|genus]] of ''C''. The '''Riemann hypothesis for curves over finite fields''' states that the roots of ''P'' have [[absolute value]] 

:''q''<sup>&minus;1/2</sup>, 

where ''q'' = |''F''|. 

For example, for the elliptic curve case there are two roots, and it is easy to show their product is ''q''<sup>&minus;1</sup>. [[Hasse's theorem on elliptic curves|Hasse's theorem]] is that they have the same absolute value; and this has immediate consequences for the number of points.

[[André Weil]] proved this for the general case, around 1940 (''Comptes Rendus'' note, April 1940): he spent much time in the years after that writing up the [[algebraic geometry]] involved. This led him to the general [[Weil conjectures]], finally proved a generation later. See [[étale cohomology]] for the basic formulae of the general theory.-->

==ゼータ関数の一般的公式==
:<math>Z(X,t)=\prod_{i=0}^{2\dim X}\det\big(1-t \mbox{Frob}_q |H^i_c(\overline{X},{\Bbb Q}_\ell)\big)^{(-1)^{i+1}}.</math>
この式は、[[フロベニウス自己準同型|フロベニウス写像]]に対する[[レフシェッツ不動点定理]]の結果である。

ここに <math>X</math> は、{{mvar|q}} 個の元を持つ有限体 {{math|''F''}} 上の有限タイプの分離的スキームであり、{{math|Frob<sub>''q''</sub>}} は <math>\overline{X}</math> のコンパクトな台を持つ幾何学的フロベニウス作用である。<math>\overline{X}</math> は {{math|''F''}} の代数的閉体への <math>X</math> のリフトである。このことは、ゼータ関数が {{mvar|t}} の有理関数であることを示している。

{{math|''Z''(''X'', ''t'')}} の無限積公式は、
:<math>Z(X, t)=\prod\ (1-t^{\deg(x)})^{-1}</math>
である。ここに、積は {{mvar|X}} の閉点 {{mvar|x}} 全てを渡り、{{math|deg(''x'')}} は {{mvar|x}} の次数である。局所ゼータ関数 {{math|''Z''(''X'', ''t'')}} は {{math|''q''<sup>-''s''</sup>}} の変数変換を通して、複素数変数 {{mvar|s}} の関数と見ることができる。

上で議論した {{mvar|X}} が多様体 {{mvar|V}} の場合は、閉点は <math>\overline{V}</math> 上の点 {{mvar|P}} の同値類 {{math|1=''x'' = [''P'']}} のこととなり、2つの点の同値とは {{math|''F''}} 上で共役なこととなる。{{mvar|x}} の次数は {{mvar|P}} の座標により生成される {{mvar|F}} の拡大次数である。無限積 {{math|''Z''(''X'', ''t'')}} の対数微分は、容易に、上で議論した生成母関数と見なすことができる。すなわち、
:<math>N_1 +N_2t^1 + N_3t^2 +\cdots</math>
である。
<!--==General formulas for the zeta function==

It is a consequence of the [[Lefschetz trace formula]] for the Frobenius morphism that

:<math>Z(X,t)=\prod_{i=0}^{2\dim X}\det\big(1-t \mbox{Frob}_q |H^i_c(\overline{X},{\Bbb Q}_\ell)\big)^{(-1)^{i+1}}.</math>

Here <math>X</math> is a separated scheme of finite type over the finite field ''F'' with <math>q</math> elements, and Frob<sub>q</sub> is the geometric Frobenius acting on <math>\ell</math>-adic étale cohomology with compact supports of <math>\overline{X}</math>, the lift of <math>X</math> to the algebraic closure of the field ''F''.  This shows that the zeta function is a rational function of <math>t</math>.

An infinite product formula for  <math>Z(X, t)</math> is

:<math>Z(X, t)=\prod\ (1-t^{\deg(x)})^{-1}.</math>

Here, the product ranges over all closed points ''x'' of ''X'' and deg(''x'') is the degree of ''x''.
The local zeta function ''Z(X, t)'' is viewed as a function of the complex variable ''s'' via the change of 
variables ''q<sup>-s</sup>''. 

In the case where ''X'' is the variety ''V'' discussed above, the closed points 
are the equivalence classes ''x=[P]'' of points ''P'' on <math>\overline{V}</math>, where two points are equivalent if they are conjugates over ''F''.  The degree of ''x'' is the degree of the field extension of ''F''
generated by the coordinates of ''P''.  The logarithmic derivative of the infinite product ''Z(X, t)'' is easily seen to be the generating function discussed above, namely

:<math>N_1 +N_2t^1 + N_3t^2 +\cdots \,</math>.-->

== 関連項目 ==
*[[ゼータ函数]]
*[[ヴェイユ予想]]
*[[楕円曲線]]

==脚注==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
*{{cite book|和書|editor=日本数学会|title=岩波数学辞典|edition=第 3 版|publisher=岩波書店|year=1985|isbn=4000800167|ref=harv}}
*{{cite book|和書|last=上野|first=健爾|authorlink=上野健爾|title=代数幾何入門|publisher=岩波書店|year=1995|isbn=4000056417|ref=harv}}
{{デフォルトソート:こうとうせえたかんすう}}
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数論]]
[[Category:ゼータ関数とL関数]]
[[Category:不動点]]
[[Category:ベルンハルト・リーマン]]
[[Category:有限体]]