合同二等辺化線点のソースを表示


{{暫定記事名|date=2024年6月}}

[[幾何学]]において、'''合同二等辺化線点'''（ごうどうにとうへんかせんてん<ref name=":1">{{Cite web |title=三角形の心 |url=http://taurus.ics.nara-wu.ac.jp/wd/glossary/triangle-centers.html |website=taurus.ics.nara-wu.ac.jp |access-date=2024-06-01}}</ref>、[[英語|英]]:congruent isoscelizers point）は、[[三角形の中心]]の一つである<ref>{{Cite web |title=Congruent Isoscelizers Point |url=https://mathworld.wolfram.com/CongruentIsoscelizersPoint.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-06-01 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref>。 [[Encyclopedia of Triangle Centers]]では ''X''(173)として登録されている。1989年、[[ピーター・イフ]] の{{仮リンク|三角形幾何学|de|Dreiecksgeometrie}}の研究で発見された<ref name=":0">{{Cite web |title=ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X173 |website=faculty.evansville.edu |access-date=2024-06-01}}</ref><ref>{{Cite web |author=Kimberling |first=Clark |title=Congruent isoscelizers point |url=http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/conisos.html |access-date=3 June 2012}}</ref>。

== 定義 ==
[[ファイル:Congruent_isoscelizers_point.svg|サムネイル|300x300ピクセル|<math>\overline{P_1Q_1} = \overline{P_2Q_2} = \overline{P_3Q_3}</math>]]
{{Math|△''ABC''}}について、{{Math|△''AP''<sub>1</sub>''Q''<sub>1</sub>}}が[[二等辺三角形]]となるような線{{Math|''P''<sub>1</sub>''Q''<sub>1</sub>}}を{{Mvar|A}}の[[イフ合同心|二等辺化線]]（ isoscelizer）という<ref>{{Cite web |title=Congruent Isoscelizers Point |url=http://www.mathhandbook.com/science/mathematics/math%20word/math/c/c569.htm |website=www.mathhandbook.com |access-date=2024-06-23}}</ref>。ただし、{{Math|''P''<sub>1</sub>,''Q''<sub>1</sub>}}はそれぞれ{{Mvar|AB,AC}}上にあるとする。また二等辺化線は[[角の二等分線]]の[[垂線]]である。

{{Math|△''ABC''}}について、{{Mvar|A, B, C}}の二等辺化線をそれぞれ {{Math|''P''<sub>1</sub>''Q''<sub>1</sub>, ''P''<sub>2</sub>''Q''<sub>2</sub>, ''P''<sub>3</sub>''Q''<sub>3</sub>}}とする。このとき[[線分]]{{Math|''P''<sub>1</sub>''Q''<sub>1</sub>, ''P''<sub>2</sub>''Q''<sub>2</sub>,  ''P''<sub>3</sub>''Q''<sub>3</sub>}}が同じ長さかつ{{Math|''P''<sub>1</sub>''Q''<sub>1</sub>, ''P''<sub>2</sub>''Q''<sub>2</sub>,  ''P''<sub>3</sub>''Q''<sub>3</sub>}}が[[共線|一点で交わる]]ようにすることができる。この点を合同二等辺化線点という<ref name=":0" />。

== 性質 ==
[[ファイル:Construction_for_congruent_isoscelizers_point.svg|サムネイル|227x227px|{{Legend-line|solid black|基準三角形 {{math|△''ABC''}}}}
{{Legend-line|solid red|{{math|△''ABC''}}の合同二等辺化線}}
{{Legend-line|solid cyan|{{math|△''ABC''}}の[[内接円]]}}
{{Legend-line|solid blue|{{math|△''A'B'C' ''}}の内接円 ({{math|△''A'B'C' ''}}の接触三角形{{math|△''A"B"C"''}})}}
{{Legend-line|dashed black 2px|{{math|△''ABC''}}と{{math|△''A"B"C"''}}の[[配景]]の線}}
]]

* {{Math|△''ABC''}}の合同二等辺化線点の[[三線座標]]は以下の式で与えられる<ref name=":0" />。

<math display="block">\begin{array}{ccccc}
  \cos\frac{B}{2} + \cos\frac{C}{2} - \cos\frac{A}{2} &:& \cos\frac{C}{2} + \cos\frac{A}{2} - \cos\frac{B}{2} &:& \cos\frac{A}{2} + \cos\frac{B}{2} - \cos\frac{C}{2} \\[4pt]
  = \quad \tan\frac{A}{2} + \sec\frac{A}{2} \quad \ \ &:& \tan\frac{B}{2} + \sec\frac{B}{2} &:& \tan\frac{C}{2} + \sec\frac{C}{2}
\end{array}</math>

* [[三角形の内接円と傍接円|接触三角形]]の接触三角形と元の三角形の[[配景]]の中心は合同二等辺化線点である<ref>{{Cite journal|author=Eric Danneels|year=2004|title=A Simple Construction of the Congruent Isoscelizers Point|url=https://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200409.pdf|journal=[[Forum Geometricorum]]|issue=Vol 4|pages=69-71}}</ref>。 この事実は合同二等辺化線点の作図から示すことができる<ref name=":0" />。
* [[イフ合同心|Yff Central tringle]]と[[傍心|傍心三角形]]の[[クローソン点]]である。

== 等角共役点 ==
合同二等辺化線点の[[等角共役点]]は'''合同内接円二等辺化線点'''<ref name=":1" />（{{Lang|en|Congurent incircles isocelizers point}}）である。定義は次の通り。

{{Math|△''ABC''}}について、点{{Mvar|P}}を通る、それぞれ{{Mvar|A, B, C}}の二等辺化線と2辺が成す三角形の内接円がすべて[[図形の合同|合同]]であるような点{{Mvar|P}}を合同内接円二等辺化線点という。

合同内接円二等辺化線点は、[[三角形の内接円と傍接円|内心]]と[[傍心|傍心三角形]]の内心と[[共線]]である。

[[Encyclopedia of Triangle Centers]]ではX(258)で紹介されており、三線座標は次の式で与えられる<ref>{{Cite web |title=ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS X(258) = CONGRUENT INCIRCLES ISOSCELIZER POINT |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X258 |website=faculty.evansville.edu |access-date=2024-08-08}}</ref>。

<math>\tan(\frac{A}{2})-\sec(\frac{A}{2}):\tan(\frac{B}{2})-\sec(\frac{B}{2}):\tan(\frac{C}{2})-\sec(\frac{C}{2})</math>

== 関連 ==

* [[イフ合同心]]
* [[合同辺平行線点]]

== 出典 ==
<references responsive="1"></references>{{デフォルトソート:こうとうにとうへんかせんてん}}
[[Category:三角形]]
[[Category:三角形の中心]]
[[Category:数学に関する記事]]