合同二等辺化線点

幾何学において、合同二等辺化線点（ごうどうにとうへんかせんてん、英:congruent isoscelizers point）は、三角形の中心の一つである。 Encyclopedia of Triangle Centersでは X(173)として登録されている。1989年、ピーター・イフ のテンプレート:仮リンクの研究で発見された。

定義

$\overline{P_1{Q}_1}=\overline{P_2{Q}_2}=\overline{P_3{Q}_3}$

テンプレート:Mathについて、テンプレート:Mathが二等辺三角形となるような線テンプレート:Mathをテンプレート:Mvarの二等辺化線（ isoscelizer）という。ただし、テンプレート:Mathはそれぞれテンプレート:Mvar上にあるとする。また二等辺化線は角の二等分線の垂線である。

テンプレート:Mathについて、テンプレート:Mvarの二等辺化線をそれぞれ テンプレート:Mathとする。このとき線分テンプレート:Mathが同じ長さかつテンプレート:Mathが一点で交わるようにすることができる。この点を合同二等辺化線点という。

性質

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• テンプレート:Mathの合同二等辺化線点の三線座標は以下の式で与えられる。

$$\begin{array}{ccccc}\cos \frac{B}{2}+\cos \frac{C}{2}-\cos \frac{A}{2}& :& \cos \frac{C}{2}+\cos \frac{A}{2}-\cos \frac{B}{2}& :& \cos \frac{A}{2}+\cos \frac{B}{2}-\cos \frac{C}{2}\\ =\tan \frac{A}{2}+\sec \frac{A}{2}& :& \tan \frac{B}{2}+\sec \frac{B}{2}& :& \tan \frac{C}{2}+\sec \frac{C}{2}\end{array}$$

• 接触三角形の接触三角形と元の三角形の配景の中心は合同二等辺化線点である。 この事実は合同二等辺化線点の作図から示すことができる。
• Yff Central tringleと傍心三角形のクローソン点である。

等角共役点

合同二等辺化線点の等角共役点は合同内接円二等辺化線点（テンプレート:Lang）である。定義は次の通り。

テンプレート:Mathについて、点テンプレート:Mvarを通る、それぞれテンプレート:Mvarの二等辺化線と2辺が成す三角形の内接円がすべて合同であるような点テンプレート:Mvarを合同内接円二等辺化線点という。

合同内接円二等辺化線点は、内心と傍心三角形の内心と共線である。

Encyclopedia of Triangle CentersではX(258)で紹介されており、三線座標は次の式で与えられる。

$\tan (\frac{A}{2})-\sec (\frac{A}{2}):\tan (\frac{B}{2})-\sec (\frac{B}{2}):\tan (\frac{C}{2})-\sec (\frac{C}{2})$

関連

• イフ合同心
• 合同辺平行線点