合同記号のソースを表示

{{記号文字|≡}}

'''合同記号'''（ごうどうきごう）は、元来、[[合同式]]の合同（モジュロ）を表すための記号であり、「≡」(コングルエント)が使われる。

記号「≡」は、それ以外に、以下の意味:

* （[[幾何学]]的な）[[図形の合同|合同]]
* [[恒等式]]
* [[定義]]
* [[同値]]

でも使われる。これらは、記号「≡」を使う以外の記法もあるので、必要に応じ、それらの記法についても述べる。

文字名称は、[[Unicode]]と[[JIS X 0213]]では「{{smallcaps|identical to}}」（～に恒等である）、日本語では「常に等しい/合同」とも呼ばれる。

== 各々の意味 ==
=== 合同式 ===
{{記号文字|≡}}

整数論にて、合同記号の左右の整数の値を括弧内のmodで示した値で割った余りが等しいことを示す「[[合同式]]」に用いられる。

==== 歴史 ====
[[カール・フリードリヒ・ガウス]]は、[[1801年]]に『[[Disquisitiones Arithmeticae]]』で数の合同の記号として使用した。当時の形は
: <math>a \equiv b \quad (\text{mod.} \ m)</math>
: <math>a \equiv b \quad (\text{modo} \ m)</math>
だった<ref>[http://steiner.math.nthu.edu.tw/usr3/summer99/44/mathword/nth.html Earliest Uses of Symbols of Number Theory]</ref>。

==== 使用例 ====
: <math>a \equiv b \mod m</math>
: <math>a \equiv b \pmod m</math>
: <math>a \equiv b \ \bmod \ m</math>
: <math>a \equiv b \ (m)</math>

などはいずれも、「''a'' と ''b'' は ''m'' を法として合同である」すなわち「''a'' と ''b'' の各々を ''m'' で割った余りが等しい」ことを意味する。ここで、「合同記号」とは「≡」のみのことであり、「mod」は含めない。

法が文脈から明らかだったり、法によらず合同式が成立する場合は、
: <math>a \equiv b</math>
と法を省略できる。

=== 幾何学的な合同 ===
{{記号文字|≡ &#x2245; &#x224C; &#x2243; }}
==== 歴史 ====
[[ゴットフリート・ライプニッツ]]は、[[1710年]]に[[フンボルト大学ベルリン|ベルリン大学]]のジャーナル誌である[[ベルリン論集]]({{Lang|de|Miscellanea Berolinensia}})に発表した{{Lang|de|Monitum}}で、「≃」（1本線の上に[[チルダ]]）を図形の合同を表す目的として使用した<ref name="nthu">[http://steiner.math.nthu.edu.tw/usr3/summer99/44/mathword/geometry.html Earliest Uses of Symbols from Geometry]</ref>。

{{仮リンク|ヨハン・フリードリッヒ・ハセラー|de|Johann Friedrich Ludwig Häseler}}は、[[1777年]]に{{Lang|de|Anfangsgründe der Arith., Alg., Geom. und Trig}}で「&#x224C;」{{efn2|[[Unicode Consortium]]『[[the Unicode Standard]]』により、この文字の例示された[[字体]]は逆チルダとなっているが、チルダか逆チルダかは異字体の関係でありどちらでもよいと解説されているので、表示環境によってはチルダとなる。}}（[[等号]]の上に逆チルダ）を使用した<ref name="nthu"/>。

[[1824年]]に[[カール・モルワイデ]]が、逆チルダをチルダに変更した「&#x2245;」（等号の上にチルダ）を使用するようになった<ref name="nthu"/>。

==== 現在の用法 ====
現在、多くの国で、モルワイデの「&#x2245;」（等号の上にチルダ）を使う<ref>[http://mathworld.wolfram.com/GeometricCongruence.html Geometric Congruence -- from Wolfram MathWorld]</ref>。

例外的に、日本・韓国<ref>[http://proi.edupia.com/contents/proicontents/proi/proi/middle/SchoolBook/seb/jd_seb1_content.asp?nTerm=2&nYear=7&nConID=1631&nCatID=685&nDaeNumber=5 작도와 도형의 합동 도형의 합동]</ref>では、もっぱら「≡」（3本線）を使う。合同記号として「≡」を用いたのは[[ボーヤイ・ヤーノシュ]]である<ref name="kurogi">{{Cite |和書 | author = 黒木哲徳 | title = なっとくする数学記号 | date = 2021 | pages = 107 | publisher = 講談社 | isbn = 9784065225509 | series = ブルーバックス | ref = harv }}</ref>。

ハセラーの「&#x224C;」（等号の上に逆チルダ）を使うこともある。

[[2次元]]図形に対して使う機会が多いが、[[3次元]]以上の場合にも同じ記号が用いられる（[[1次元]]以下にも理論上定義できるが使う意義はほとんどない）。

==== 使用例 ====
:<math>\triangle \mathrm{ABC} \equiv \triangle \mathrm{DEF}</math>
:<math>\triangle \mathrm{ABC} \cong \triangle \mathrm{DEF}</math>

はいずれも、「三角形ABCと三角形DEFが合同である」ことを意味する。なお、これを

:<math>\triangle \mathrm{ABC} = \triangle \mathrm{DEF}</math>

と書くと、「三角形ABCと三角形DEFは[[面積]]が等しい」という意味になる。

=== 恒等式 ===
{{記号文字|≡}}

左辺と右辺が常に等しい「[[恒等式]]」を表す。[[ベルンハルト・リーマン]]が[[1899年]]に『楕円関数論』で使用した<ref name="kurogi"/>。

たとえば:

:<math>ab \equiv ba</math>

は「常に ''ab'' = ''ba'' である」ことを表す。

=== 定義する ===
{{記号文字|≡ &#x2254; &#x225C; &#x225D;}}

左辺を右辺の式で定義するときに使う<ref name="defined">[http://mathworld.wolfram.com/Defined.html Defined -- from Wolfram MathWorld]</ref>。これには、「&#x2254;」（[[等号]]の左に[[コロン (記号)|コロン]]）<ref name="defined"/>、「&#x225C;」（等号の上に[[三角 (記号)|三角形]]）<ref name="defined"/>、「&#x225D;」（等号の上に「def」）<ref name = "ISO 31-11">
{{cite book
 | first1 = Ambler | last1 = Thompson
 | first2 = Barry M | last2 = Taylor
 | url = http://physics.nist.gov/cuu/pdf/sp811.pdf
 | title = Guide for the Use of the International System of Units (SI) — NIST Special Publication 811, 2008 Edition — Second Printing
 | year = 2008
 | month = March
 | publisher = [[NIST]]
 | location = Gaithersburg, MD, USA
}}</ref>も使われる。

たとえば:

:<math>f(x) \equiv x ^ 2</math>
:<math>f(x) := x ^ 2</math>
:<math>f(x) \triangleq x ^ 2</math>
:<math>f(x) \overset{\underset{def}{}}= x ^ 2</math>
:<math>f(x) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}= x ^ 2</math>

はいずれも、「''f''(''x'') を ''x''{{sup|2}} と定義する」あるいは「定義により ''f''(''x'') = ''x''{{sup|2}} である」ことを意味する。

=== 同値 ===
{{記号文字|≡ <nowiki>=</nowiki> ⇔ &#x27FA; &#x2194; &#x21CC;}}

左辺と右辺の[[命題]]もしくは[[論理式 (数学)|論理式]]が[[同値]]であることを表す。[[E・H・ムーア]]や、[[アルフレッド・ノース・ホワイトヘッド]]と[[バートランド・ラッセル]]が、[[1910年]]に使用した<ref name="mw eqiv">[http://mathworld.wolfram.com/Equivalent.html Equivalent -- from Wolfram MathWorld]</ref>。

他に、「=」（[[等号]]）<ref name="mw eqiv"/>、「⇔」（二重左右[[矢印]]）<ref name="mw eqiv"/>、「&#x27FA;」（長い二重左右矢印）<ref name="mw eqiv"/>、「&#x2194;」（一重左右矢印）<ref name="mw eqiv"/>、「&#x21CC;」（右向きと左向きの半分の矢印を上下に重ねたもの）<ref name="mw eqiv"/>も使う。

たとえば:

:<math>P \equiv Q</math>
:<math>P = Q</math>
:<math>P \Leftrightarrow  Q</math>
:<math>P \Longleftrightarrow  Q</math>
:<math>P \leftrightarrow  Q</math>
:<math>P \rightleftharpoons Q</math>

はいずれも、「''P'' と ''Q'' が同値である」ことを意味する。

== 合同否定 ==
{{記号文字|&#8802; }}

「&#8802;」は、UnicodeとJIS X 0213では「{{smallcaps|not identical to}}」（恒等でない）、日本語では「合同否定」とも呼ばれる。

「A &#8802; B」は、「A ≡ B でない」ことを意味する。たとえば:
: <math>a \not\equiv b \mod m</math>
は、「''a'' と ''b'' は ''m'' を法として合同でない」すなわち「''a'' と ''b'' の各々を ''m'' で割った余りが異なる」ことを意味する。

== 符号位置 ==
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
!記号!![[Unicode]]!![[JIS X 0213]]!![[文字参照]]!!名称
{{CharCode|8801|2261|1-2-65|常に等しい、合同<br/>{{smallcaps|identical to}}}}
{{CharCode|8771|2243|1-2-76|漸進的に等しい、ホモトープ<br/>{{smallcaps|asymptotically equal to}}}}
{{CharCode|8773|2245|1-2-77|同形<br/>{{smallcaps|approximately equal to}}}}
{{CharCode|8780|224C||すべて等しい<br/>{{smallcaps|all equal to}}}}
{{CharCode|8802|2262|1-2-75|合同否定<br/>{{smallcaps|not identical to}}}}
|}※欧米では、相似関係を表すのに「∽」ではなく「～」が一般的に使用されているため、≌は≅と表すこともある。　

== 脚注 ==
=== 注釈 ===
{{notelist2}}
=== 出典 ===
{{reflist|2}}

== 関連項目 ==
* [[数学記号の表]]

{{DEFAULTSORT:こうとうきこう}}
[[Category:約物]]
[[Category:数学記号]]
[[Category:論理記号]]
[[Category:同値 (数学)]]