合同記号

合同記号（ごうどうきごう）は、元来、合同式の合同（モジュロ）を表すための記号であり、「≡」(コングルエント)が使われる。

記号「≡」は、それ以外に、以下の意味:

• （幾何学的な）合同
• 恒等式
• 定義
• 同値

でも使われる。これらは、記号「≡」を使う以外の記法もあるので、必要に応じ、それらの記法についても述べる。

文字名称は、UnicodeとJIS X 0213では「テンプレート:Smallcaps」（～に恒等である）、日本語では「常に等しい/合同」とも呼ばれる。

各々の意味

合同式

整数論にて、合同記号の左右の整数の値を括弧内のmodで示した値で割った余りが等しいことを示す「合同式」に用いられる。

歴史

カール・フリードリヒ・ガウスは、1801年に『Disquisitiones Arithmeticae』で数の合同の記号として使用した。当時の形は

$a\equiv b(\text{mod.}m)$

$a\equiv b(\text{modo}m)$

だった。

使用例

$a\equiv bmodm$

$a\equiv b(\mathrm{mod}m)$

$a\equiv bmodm$

$a\equiv b(m)$

などはいずれも、「a と b は m を法として合同である」すなわち「a と b の各々を m で割った余りが等しい」ことを意味する。ここで、「合同記号」とは「≡」のみのことであり、「mod」は含めない。

法が文脈から明らかだったり、法によらず合同式が成立する場合は、

$a\equiv b$

と法を省略できる。

幾何学的な合同

歴史

ゴットフリート・ライプニッツは、1710年にベルリン大学のジャーナル誌であるベルリン論集(テンプレート:Lang)に発表したテンプレート:Langで、「≃」（1本線の上にチルダ）を図形の合同を表す目的として使用した。

テンプレート:仮リンクは、1777年にテンプレート:Langで「≌」テンプレート:Efn2（等号の上に逆チルダ）を使用した。

1824年にカール・モルワイデが、逆チルダをチルダに変更した「≅」（等号の上にチルダ）を使用するようになった。

現在の用法

現在、多くの国で、モルワイデの「≅」（等号の上にチルダ）を使う。

例外的に、日本・韓国では、もっぱら「≡」（3本線）を使う。合同記号として「≡」を用いたのはボーヤイ・ヤーノシュである。

ハセラーの「≌」（等号の上に逆チルダ）を使うこともある。

2次元図形に対して使う機会が多いが、3次元以上の場合にも同じ記号が用いられる（1次元以下にも理論上定義できるが使う意義はほとんどない）。

使用例

$\mathrm{△}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\equiv \mathrm{△}\mathrm{D}\mathrm{E}\mathrm{F}$

$\mathrm{△}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\cong \mathrm{△}\mathrm{D}\mathrm{E}\mathrm{F}$

はいずれも、「三角形ABCと三角形DEFが合同である」ことを意味する。なお、これを

$\mathrm{△}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}=\mathrm{△}\mathrm{D}\mathrm{E}\mathrm{F}$

と書くと、「三角形ABCと三角形DEFは面積が等しい」という意味になる。

恒等式

左辺と右辺が常に等しい「恒等式」を表す。ベルンハルト・リーマンが1899年に『楕円関数論』で使用した。

たとえば:

$ab\equiv ba$

は「常に ab = ba である」ことを表す。

定義する

左辺を右辺の式で定義するときに使う。これには、「≔」（等号の左にコロン）、「≜」（等号の上に三角形）、「≝」（等号の上に「def」）も使われる。

たとえば:

$f(x)\equiv x^2$

$f(x):=x^2$

$f(x)\triangleq x^2$

$f(x)\stackrel{def}{=}{x}^2$

$f(x)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{x}^2$

はいずれも、「f(x) を xテンプレート:Sup と定義する」あるいは「定義により f(x) = xテンプレート:Sup である」ことを意味する。

同値

左辺と右辺の命題もしくは論理式が同値であることを表す。E・H・ムーアや、アルフレッド・ノース・ホワイトヘッドとバートランド・ラッセルが、1910年に使用した。

他に、「=」（等号）、「⇔」（二重左右矢印）、「⟺」（長い二重左右矢印）、「↔」（一重左右矢印）、「⇌」（右向きと左向きの半分の矢印を上下に重ねたもの）も使う。

たとえば:

$P\equiv Q$

$P=Q$

$P\iff Q$

$P⟺Q$

$P\leftrightarrow Q$

$P\rightleftharpoons Q$

はいずれも、「P と Q が同値である」ことを意味する。

合同否定

「≢」は、UnicodeとJIS X 0213では「テンプレート:Smallcaps」（恒等でない）、日本語では「合同否定」とも呼ばれる。

「A ≢ B」は、「A ≡ B でない」ことを意味する。たとえば:

$a\equiv ̸bmodm$

は、「a と b は m を法として合同でない」すなわち「a と b の各々を m で割った余りが異なる」ことを意味する。

符号位置

記号	Unicode	JIS X 0213	文字参照	名称

※欧米では、相似関係を表すのに「∽」ではなく「～」が一般的に使用されているため、≌は≅と表すこともある。　

関連項目

• 数学記号の表