合成体のソースを表示

<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width:200px;"><math>\begin{matrix} L \\ | \\ AB \\ \diagup\quad\diagdown \\ A \qquad\quad B \\ \diagdown\quad\diagup \\ A\cap B \\ | \\ K\end{matrix}</math>
<div class="thumbcaption">拡大 {{math|''A''/(''A'' ∩ ''B'')}} のいくつかの性質は合成体への拡大 {{mvar|AB/B}} に持ちあがる。その様子はあたかもそれらが平行四辺形を成すようである 
</div></div></div>
[[数学]]における[[可換体|体]]の'''合成'''あるいは'''合成体'''（ごうせいたい、{{lang-en-short|composite field}}）は、それら体をすべて含む最小の体を言う。

{{mvar|A, B}} が適当な体 {{mvar|L}} の部分体である{{sfn|Lang|1978|p=163}}とき、（内部）'''合成体''' {{mvar|AB}} は、体 {{mvar|A}} に {{mvar|B}} を[[体の拡大|添加]]して得られる体 {{math|''A''(''B'')}} として定義される。これは、{{mvar|B}} の元の {{mvar|A}}-係数[[線型結合]]の全体に一致し、また {{mvar|A, B}} をともに含む {{mvar|L}} の部分体すべての[[交叉 (集合論)|交わり]]にも一致する。この体の添加は対称的で、{{math|1=''A''(''B'') = ''B''(''A'')}} が成り立つ。

{{mvar|A, B}} がともに第三の体の部分体となることが明らかでないときには、（外部）合成体が[[体のテンソル積]]を用いて定義される。

{{mvar|A, B}} が[[体の拡大]] {{mvar|L/K}} の中間体で、ともに {{mvar|K}} の有限次拡大のとき、合成体の拡大次数は個々の拡大次数の[[最小公倍数]]以上、積以下: <math display="block">\operatorname{l.c.m}([A : K], [B : K]) \le [AB : K] \le [A : K] \cdot [B : K]</math> である。特に {{mvar|A, B}} が[[線型無関連]]ならば、{{math|1={{bracket|''AB'' : ''K''}}= {{bracket|''A'' : ''K''}}&sdot;{{bracket|''B'' : ''K''}}}} が成り立つ。これは例えば。{{mvar|A, B}} それぞれの拡大次数が[[互いに素 (整数論)|互いに素]]なときに起きる。

共通の拡大体を持つ任意個数の体の合成も考えることができる。例えば、[[代数的数]]全体の成す体は、[[有理数]]体 {{mathbf|Q}} の任意の有限次拡大体を部分体として含み、それら有限次拡大体すべての合成体に等しい。

[[ガロア理論]]の枠組みにおいて、以下が成立する{{sfn|Lang|1978|pp=196-197}}:

{{mvar|K}} を {{mvar|A, B}} の共通の部分体とし、{{mvar|A/K}} が[[ガロワ拡大]]であるとき、
* 拡大 {{mvar|AB/B}} および {{math|''A''/(''A ∩ B'')}} はガロワ拡大であり、
* [[制限 (数学)|写像の定義域の制限]]によって[[ガロワ群]]の間の[[群同型]] {{math|Gal(''AB''/''B'') &cong; Gal(''A''/(''A ∩ B''))}} が成り立つ。

== 出典 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{ouvrage|lang=en|prénom=Serge|nom=Lang|lien auteur1=Serge Lang|titre=Algebra|title-link=:fr:Référence:Algèbre (Lang)|année=1978}}
* {{cite book | last = Roman | first = Steven | authorlink = :en:Steven Roman | title = Field Theory | publisher = Springer-Verlag | date = 1995 | location = New York | isbn = 0-387-94407-9 }}, especially chapter 2

== 外部リンク ==
* {{PlanetMath|urlname=CompositeField|title=composite field}}
* {{SpringerEOM|urlname=Compositum|title=Compositum}}

{{DEFAULTSORT:こうせいたい}}
[[Category:体の拡大]]
[[Category:体論]]
[[Category:ガロア理論]]
[[Category:数学に関する記事]]