合成体

\begin{matrix} L \\ | \\ A B \\ ╱ ╲ \\ A B \\ ╲ ╱ \\ A \cap B \\ | \\ K \end{matrix}

拡大テンプレート:Math のいくつかの性質は合成体への拡大テンプレート:Mvar に持ちあがる。その様子はあたかもそれらが平行四辺形を成すようである

数学における体の合成あるいは合成体（ごうせいたい、テンプレート:Lang-en-short）は、それら体をすべて含む最小の体を言う。

テンプレート:Mvar が適当な体テンプレート:Mvar の部分体であるテンプレート:Sfnとき、（内部）合成体 テンプレート:Mvar は、体テンプレート:Mvar にテンプレート:Mvar を添加して得られる体テンプレート:Math として定義される。これは、テンプレート:Mvar の元のテンプレート:Mvar-係数線型結合の全体に一致し、またテンプレート:Mvar をともに含むテンプレート:Mvar の部分体すべての交わりにも一致する。この体の添加は対称的で、テンプレート:Math が成り立つ。

テンプレート:Mvar がともに第三の体の部分体となることが明らかでないときには、（外部）合成体が体のテンソル積を用いて定義される。

テンプレート:Mvar が体の拡大テンプレート:Mvar の中間体で、ともにテンプレート:Mvar の有限次拡大のとき、合成体の拡大次数は個々の拡大次数の最小公倍数以上、積以下: $l.c.m ([A : K], [B : K]) \leq [A B : K] \leq [A : K] \cdot [B : K]$ である。特にテンプレート:Mvar が線型無関連ならば、テンプレート:Math が成り立つ。これは例えば。テンプレート:Mvar それぞれの拡大次数が互いに素なときに起きる。

共通の拡大体を持つ任意個数の体の合成も考えることができる。例えば、代数的数全体の成す体は、有理数体テンプレート:Mathbf の任意の有限次拡大体を部分体として含み、それら有限次拡大体すべての合成体に等しい。

ガロア理論の枠組みにおいて、以下が成立するテンプレート:Sfn:

出典