同伴行列のソースを表示

{{refimprove|date=February 2010}}
[[線型代数学]]における[[フェルディナント・ゲオルク・フロベニウス|フロベニウス]]の'''同伴行列'''（どうはんぎょうれつ）あるいは'''コンパニオン行列'''（{{lang-en-short|''companion matrix''}}）とは、''n'' 次[[モニック多項式]]
:<math>p(t)=c_0 + c_1 t + \cdots + c_{n-1}t^{n-1} + t^n</math>
に対して
:<math>C(p)=\begin{bmatrix}
  &        &   & -c_0   \\
1 &        &   & -c_1   \\
  & \ddots &   & \vdots \\
  &        & 1 & -c_{n-1}
\end{bmatrix}</math>
と定義される''n'' 次[[行列]]を言う。慣例的に、[[基底 (線型代数学)|基底]] ''v''<sub>1</sub>, …, ''v''<sub>''n''</sub> は、''C'' = ''C''(''p'') が基底を巡回するようにとる。つまり、''Cv''<sub>''i''</sub> = ''C''<sup>''i''</sup>''v''<sub>1</sub> = ''v''<sub>''i''+1</sub> (''i'' &lt; ''n'') かつ ''v''<sub>1</sub> は ''K''[''C'']-[[環上の加群|加群]]として ''V'' を生成する。

文献によってはいま挙げた行列の[[転置行列|転置]]（と双対巡回座標）を採用するものもある。これは線型[[漸化式]]に用いるなどの目的でより効果を発揮する。

== 特徴付け ==
モニック多項式 ''p'' から定まる同伴行列 ''C''(''p'') の[[固有多項式]]と[[最小多項式 (線型代数学)|最小多項式]]は ''p'' と一致する{{sfn|Horn|Johnson|2013|loc=Theorem 3.3.14|page={{google books quote|id=O7sgAwAAQBAJ|page=195|195}}}}。このような意味でモニック多項式 ''p'' は正方行列 ''C''(''p'') を〈同伴〉している。

行列 ''A'' が適当な[[可換体|体]] ''K'' の元を成分にもつ ''n'' 次行列とすると、以下は同値：
* ''A'' はその固有多項式の同伴行列に ''K'' 上で[[行列の相似|相似]]である。
* ''A'' の固有多項式と最小多項式は一致する。
* ''A'' の最小多項式の次数は ''n'' である。
* ''K''{{sup|''n''}} = [[生成 (線型代数学)|span{{sub|''K''}}]]{''v'', ''Av'', …, ''A''<sup>''n''&minus;1</sup>''v''} となるベクトル ''v'' が存在する{{efn|このようなベクトル ''v'' を ''A'' に関する巡回ベクトル {{lang|en|''cyclic vector''}} と呼ぶ{{sfn|Hoffman|Kunze|1971|p=227}}。}}。 
* ''V'' = ''K''{{sup|''n''}} は ''K''[''A'']-加群として[[巡回群|巡回的]]（かつ ''V'' = ''K''[''A'']/(''p''(''A'')) である（このことを以って ''A'' は正常 (''regular'') であるという）。

一般には任意の正方行列 ''A'' が同伴行列に相似となるとは限らないが、いくつかの同伴行列 ''C''(''p''{{sub|1}}), …, ''C''(''p''{{sub|''m''}}) の直和
:<math>R = \begin{bmatrix}
C(p_1) &        &        \\
       & \ddots &        \\
       &        & C(p_m) 
\end{bmatrix}</math>
に相似となる。モニック多項式の列 {{math|''p''{{sub|1}}}}, …,  {{math|''p''{{sub|''m''}}}} は後に続く多項式を割り切るように選ぶことができ、それらは ''A'' により一意的に決まる。このようにして得られた[[区分行列]] ''R'' を ''A'' の[[有理標準形]]と呼ぶ（[[代数閉体]]上における行列の[[ジョルダン標準形]]の類似）。

== 対角化可能性 ==
''n'' 次モニック多項式 ''p'' が ''n'' 個の相異なる根（つまり同伴行列 ''C''(''p'') の[[固有値]]）''λ''<sub>1</sub>, …, ''λ''<sub>''n''</sub> を持つならば、同伴行列 ''C''(''p'') は 
:<math>V C(p) V^{-1} = \operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)</math>
と[[対角化可能|対角化できる]]。ただし ''V'' は ''λ''<sub>''i''</sub> たちに対応する[[ヴァンデルモンド行列]]である。

== 線型漸化式 ==
与えられた[[線型回帰数列]]の固有多項式が
:<math>p(t)=c_0 + c_1 t + \cdots + c_{n-1}t^{n-1} + t^n</math>
であるとき、（転置）同伴行列
:<math>C^T(p)=\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0\\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1\\
-c_0 & -c_1 & -c_2 & \cdots & -c_{n-1}
\end{bmatrix}</math>
は、数列の項を一つ進めるという意味で、当該の数列を生成する。式で書けば
:<math>C^T\begin{bmatrix}a_k\\a_{k+1}\\\vdots \\a_{k+n-1}\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}a_{k+1}\\a_{k+2}\\\vdots \\a_{k+n}\end{bmatrix}</math>
が成立する。

''c''<sub>0</sub> = −1 かつ他の全ての ''i'' について ''c''<sub>''i''</sub> = 0 のとき、即ち  ''p''(''t'') = ''t''<sup>''n''</sup> − 1 のとき、行列はシルベスターの巡回時計ずらし行列 (cyclic clock shift matrix) になる。

ベクトル (1, ''t'', ''t''<sup>2</sup>, …, ''t''<sup>''n''−1</sup>) は、''t'' が上記固有多項式の根であるとき、固有値 ''t'' に属する固有ベクトルである。

== 注釈 ==
{{notelist}}

== 出典 ==
{{reflist|2}}

== 参考文献 ==
* {{cite book
|last1 = Hoffman
|first1 = K.
|last2 = Kunze
|first2 = R.
|title = Linear Algebra
|edition = Second
|year = 1971
|publisher = Prentice-Hall
|mr = 0276251
|zbl = 0212.36601
|ref = harv
}}
*{{cite book
| last1 = Horn
| first1 = R. A. 
| last2 = Johnson
| first2 = C. R.
| title = Matrix Analysis
| edition = Second
| url = {{google books|O7sgAwAAQBAJ|plainurl=yes}}
| publisher = Cambridge University Press
| year = 2013
| isbn = 978-0-521-83940-2
| zbl = 1267.15001
| mr = 2978290
| ref = harv
}} 

== 関連項目== 
*[[フロベニウス準同型]]
*[[ケイリー・ハミルトンの定理]]
*[[単項イデアル整域上の有限生成加群]]

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|title=Companion Matrix|urlname=CompanionMatrix}}
* {{SpringerEOM|title=Frobenius matrix|urlname=Frobenius_matrix}}

{{DEFAULTSORT:とうはんきようれつ}}
[[Category:行列]]
[[Category:数学に関する記事]]