同伴行列

テンプレート:Refimprove 線型代数学におけるフロベニウスの同伴行列（どうはんぎょうれつ）あるいはコンパニオン行列（テンプレート:Lang-en-short）とは、n 次モニック多項式

$p(t)=c_0+c_{1}t+\cdots +c_{n-1}{t}^{n-1}+t^n$

に対して

$C(p)=\left[\begin{array}{cccc}& & & -c_0\\ 1& & & -c_1\\ & \ddots & & ⋮\\ & & 1& -c_{n-1}\end{array}\right]$

と定義されるn 次行列を言う。慣例的に、基底 v₁, …, v_n は、C = C(p) が基底を巡回するようにとる。つまり、Cv_i = Cⁱv₁ = v_i+1 (i < n) かつ v₁ は K[C]-加群として V を生成する。

文献によってはいま挙げた行列の転置（と双対巡回座標）を採用するものもある。これは線型漸化式に用いるなどの目的でより効果を発揮する。

特徴付け

モニック多項式 p から定まる同伴行列 C(p) の固有多項式と最小多項式は p と一致するテンプレート:Sfn。このような意味でモニック多項式 p は正方行列 C(p) を〈同伴〉している。

行列 A が適当な体 K の元を成分にもつ n 次行列とすると、以下は同値：

• A はその固有多項式の同伴行列に K 上で相似である。
• A の固有多項式と最小多項式は一致する。
• A の最小多項式の次数は n である。
• Kテンプレート:Sup = [[生成 (線型代数学)|spanテンプレート:Sub]]{v, Av, …, Aⁿ⁻¹v} となるベクトル v が存在するテンプレート:Efn。
• V = Kテンプレート:Sup は K[A]-加群として巡回的（かつ V = K[A]/(p(A)) である（このことを以って A は正常 (regular) であるという）。

一般には任意の正方行列 A が同伴行列に相似となるとは限らないが、いくつかの同伴行列 C(pテンプレート:Sub), …, C(pテンプレート:Sub) の直和

$R=\left[\begin{array}{ccc}C(p_1)& & \\ & \ddots & \\ & & C(p_m)\end{array}\right]$

に相似となる。モニック多項式の列 テンプレート:Math, …, テンプレート:Math は後に続く多項式を割り切るように選ぶことができ、それらは A により一意的に決まる。このようにして得られた区分行列 R を A の有理標準形と呼ぶ（代数閉体上における行列のジョルダン標準形の類似）。

対角化可能性

n 次モニック多項式 p が n 個の相異なる根（つまり同伴行列 C(p) の固有値）λ₁, …, λ_n を持つならば、同伴行列 C(p) は

$VC(p)V^{-1}=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$

と対角化できる。ただし V は λ_i たちに対応するヴァンデルモンド行列である。

線型漸化式

与えられた線型回帰数列の固有多項式が

$p(t)=c_0+c_{1}t+\cdots +c_{n-1}{t}^{n-1}+t^n$

であるとき、（転置）同伴行列

$C^T(p)=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\\ -c_0& -c_1& -c_2& \cdots & -c_{n-1}\end{array}\right]$

は、数列の項を一つ進めるという意味で、当該の数列を生成する。式で書けば

$C^T\left[\begin{array}{c}{a}_k\\ a_{k+1}\\ ⋮\\ a_{k+n-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_{k+1}\\ a_{k+2}\\ ⋮\\ a_{k+n}\end{array}\right]$

が成立する。

c₀ = −1 かつ他の全ての i について c_i = 0 のとき、即ち p(t) = tⁿ − 1 のとき、行列はシルベスターの巡回時計ずらし行列 (cyclic clock shift matrix) になる。

ベクトル (1, t, t², …, tⁿ⁻¹) は、t が上記固有多項式の根であるとき、固有値 t に属する固有ベクトルである。

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book

関連項目

• フロベニウス準同型
• ケイリー・ハミルトンの定理
• 単項イデアル整域上の有限生成加群

外部リンク

• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:SpringerEOM