線型回帰数列

数学において、テンプレート:Mvar-階の線型回帰数列（せんけいかいきすうれつ、テンプレート:Lang-en-short; 線型循環数列）とは、各項がある可換体テンプレート:Mathbf（典型的には複素数体テンプレート:Mathbf や実数体テンプレート:Mathbf）に値をとる数列であって、体テンプレート:Mathbf のテンプレート:Mvar 個のスカラーテンプレート:Math が存在して、任意のテンプレート:Math に対して、テンプレート:Mvar-階の線型漸化式 $u_{n + p} = a_{0} u_{n} + a_{1} u_{n + 1} + \dots + a_{p - 1} u_{n + p - 1}$ を満たすものの総称である。より一般には、係数テンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar の函数とすることもできるが、本項においては基本的に定数係数の場合を扱う。このような数列は、最初のテンプレート:Mvar 項（初期値あるいは初期条件と呼ばれる）が決まれば、残りの項は漸化式に従ってすべて一意に決定される。この数列または漸化式（離散力学系）が安定であるとは、任意の初期値集合に対してテンプレート:Mvar を無限大に飛ばした極限（定常状態）が存在するときに言う。

高階の線型回帰列を調べることは線型代数学に属する問題である。そのような列の一般項は、列に付随する特性多項式と呼ばれる多項式の根が求まれば、それらによって記述することができる。上記の漸化式を満たす列に付随する特性多項式は $P (X) = X^{p} - \sum_{i = 0}^{p - 1} a_{i} X^{i} = X^{p} - a_{p - 1} X^{p - 1} - a_{p - 2} X^{p - 2} - \dots - a_{1} X - a_{0}$ で与えられ、特性多項式の根は特性根と呼ばれる。特性多項式の次数は漸化式の階数に等しい。特に二階の回帰列の場合には、特性多項式の次数もテンプレート:Math であり、その根の様子は判別式を用いて知ることができる。故に、二階線型回帰列は最初の二項の値のみから初等的な算術演算（和・差・積・冪）と正弦・余弦函数（考える体が実数体の場合）を用いて記述することができる。この種の数列の例には、よく知られたフィボナッチ数列があり、その各項は黄金比の冪を使って書くことができる。

一般に差分方程式は様々な文脈で用いられ、例えば経済学において、国内総生産やインフレ率、為替レートなどの時間発展する変数をモデル化する。差分方程式をそのような時系列のモデル化に用いるのは、それら変数の値が離散的間隔でのみ測られるからである。そのような応用において、線型差分方程式は自己回帰モデル (AR) や AR とその他の特徴を組み合わせたテンプレート:Ill2 (VAR) および自己回帰移動平均モデル (ARMA) など、推計学的な言葉でモデル付けられる。

定義と簡単な事実

一般に体テンプレート:Mathbf 上の（函数係数）テンプレート:Mvar-階線型差分方程式 (linear difference equation)^[1]テンプレート:Rp^[2]テンプレート:Rp あるいは線型漸化式 (linear recurrence relation) とは、数列テンプレート:Math に関する漸化式で、テンプレート:Math なるとき

\sum_{i = 0}^{p} a_{i} (n) f_{n - i} = b (n) (\forall n \in 𝕂, a_{p} (n) \neq 0)

の形に書けるものを言う。ここに、各係数函数テンプレート:Mvar および函数テンプレート:Mvar は、自然数テンプレート:Mvar を変数とするテンプレート:Mathbf-値函数である。すべてのテンプレート:Mvar がテンプレート:Mvar に依らない一定の値をとるとき、漸化式は定数係数であるという。

テンプレート:Math なる全てのテンプレート:Mvar に対して、上記の漸化式を満足する数列テンプレート:Math をこの差分方程式の解と呼ぶ。解は明らかに最初のテンプレート:Mvar 項の値によって特徴付けられる。

任意のテンプレート:Mvar に対してテンプレート:Math のとき、差分方程式は斉次 (homogeneous) であるといい、そうでないとき非斉次 (inhomogeneous, non-homogeneous) と言う。任意のテンプレート:Mvar に対してテンプレート:Math となる数列は明らかに斉次方程式を満たし、斉次方程式の自明解と呼ばれる。

一般性を失うことなくテンプレート:Math として、別な表現 $f_{n} = a_{1} (n) f_{n - 1} + a_{2} (n) f_{n - 2} + \dots + a_{p} (n) f_{n - p} - b (n) = \sum_{i = 1}^{p} a_{i} (n) f_{n - i} - b (n)$ を与えることができる。これはテンプレート:Mvar が直前のテンプレート:Mvar 項から決定されるという形になっている。

テンプレート:Mvar が同じ斉次方程式の解ならば、テンプレート:Math も同じ斉次方程式の解である
テンプレート:Mvar が同じ非斉次方程式の解ならば、テンプレート:Math は付随する斉次方程式の解になる。
非斉次方程式の解の一つテンプレート:Mvar が既知（特殊解）ならば、非斉次方程式の他の解は付随する斉次方程式の一般解テンプレート:Mvar との和として書ける。

斉次形への帰着

テンプレート:Math として非斉次の定数係数方程式 $y_{n} = a_{1} y_{n - 1} + \dots + a_{p} y_{n - p} + b$ を解くには、斉次形に変形するのが便利である。そのためにはまず、テンプレート:Mvar を無限大に飛ばしたときの定常値 テンプレート:Mvar（それはこの線型変換の不動点である）を求めることが必要である。これは上記の方程式における任意のテンプレート:Mvar をテンプレート:Mvar と置いて解けば $y^{*} = \frac{b}{1 - a_{1} - \dots - a_{p}}$ と得られる（この分母がテンプレート:Math ならば、定常値は存在しない）。

定常値がわかれば、上記の差分方程式は定常値からの各項の偏差に関する方程式 $(y_{n} - y^{*}) = a_{1} (y_{n - 1} - y^{*}) + \dots + a_{p} (y_{n - p} - y^{*})$ に書き直せて、これは非斉次項を持たない。テンプレート:Math と置けばより簡潔に $x_{n} = a_{1} x_{n - 1} + \dots + a_{p} x_{n - p}$ となる。

定常でない場合には、方程式 $y_{n} = a_{1} y_{n - 1} + \dots + a_{p} y_{n - p} + b$ と添字を一つずらした方程式 $y_{n - 1} = a_{1} y_{n - 2} + \dots + a_{p} y_{n - (p + 1)} + b$ からテンプレート:Mvar を消去すれば $y_{t} - a_{1} y_{t - 1} - \dots - a_{n} y_{t - n} = y_{t - 1} - a_{1} y_{t - 2} - \dots - a_{n} y_{t - (n + 1)}$ が、もとの方程式より階数が一つ大きいものの斉次方程式として得ることができる。

一階線型回帰列

テンプレート:Main

一階の斉次線型漸化式 $u_{n + 1} = q u_{n}$ の解は幾何数列と呼ばれる。その一般項は $u_{n} = u_{n_{0}} q^{n - n_{0}}$ で与えられる。
非斉次一階線型漸化式テンプレート:Math の解は算術幾何数列である。

二階線型回帰列

係数体テンプレート:Mathbf の二つのスカラーテンプレート:Mvar およびテンプレート:Math を固定して、線型漸化式テンプレート:NumBlk を満たす列の一般項が、テンプレート:Mathbf における特性多項式の根の値に従って、以下のように与えられることが示される。

$λ r_{1}^{n} + μ r_{2}^{n}$ （ただし、テンプレート:Math は多項式テンプレート:Math の相異なる二根）
$(λ + μ n) r_{0}^{n}$ （ただし、テンプレート:Math は多項式テンプレート:Math の二重根）

また、テンプレート:Mvar とテンプレート:Mvar は列の最初の二項によって決まる, 初期パラメータである。

前者についてはさらに、多項式テンプレート:Math の二根テンプレート:Math が互いに共軛な複素数テンプレート:Mvar であるとき、数列の一般項を

ρ^{n} (A \cos (n θ) + B \sin (n θ))

と書くことができる。ただし、テンプレート:Math は数列の最初の二項から決まるパラメータである。

ここまで数列はある番号テンプレート:Math から始まるものとして扱ったが、以下、一般性を失うことなく数列は自然数全体の成す集合テンプレート:Mathbf 上で定義されるものと仮定してよい。実際、数列テンプレート:Math がテンプレート:Math からしか定義されていないとき、テンプレート:Mathbf 上で定義される数列テンプレート:Math をテンプレート:Math によって定めることができる。

基本的な考え方は線型漸化式 (テンプレート:EquationNote) を満たす幾何数列を求めること、即ち数列テンプレート:Math が (テンプレート:EquationNote) を満たすようなスカラーテンプレート:Mvar を見つけることである。そうするとこの問題が、二次方程式テンプレート:Math を解くことと等価であることが容易に理解される。多項式テンプレート:Math はこの数列の特性方程式と呼ばれ、その判別式はテンプレート:Math で与えられる。特性多項式の根の数によって、いくつかの場合が区別されねばならない。

相異なる二根を持つ場合

テンプレート:Math とテンプレート:Math が相異なる二根であるとき、数列テンプレート:Math テンプレート:Sub およびテンプレート:Math はともに漸化式 (テンプレート:EquationNote) を満たすから、漸化式の線型性から同様に、一般項がテンプレート:Math の数列もすべて (テンプレート:EquationNote) を満たす。ここから (テンプレート:EquationNote) を満足する数列を全て決定するには、そのような数列が初期条件テンプレート:Math によって完全に決まることから、テンプレート:Mvar に関する次の方程式系

{\begin{matrix} λ + μ = u_{0} \\ λ r_{1} + μ r_{2} = u_{1} \end{matrix}

を解けば十分である。しかし、この系の行列式テンプレート:Math は常にテンプレート:Math ではないから、(テンプレート:EquationNote) を満たす数列は常にテンプレート:Math およびテンプレート:Math の線型結合として表される。このような状況は、数列が実数値でテンプレート:Math のときや、数列が複素数値で判別式がテンプレート:Math でないときに起きる。

二重根を持つ場合

判別式がテンプレート:Math のときは、根がテンプレート:Math 一つしかなく、(テンプレート:EquationNote) を満たす幾何数列がテンプレート:Math しか出てこないから、状況が全く変わってくる。考え方としては、一般項がテンプレート:Math となる数列テンプレート:Math が (テンプレート:EquationNote) を満足するような数列テンプレート:Math を見つければよい。これは「定数変化法」と呼ばれる手法である。まずは、テンプレート:Math がテンプレート:Math でない限りテンプレート:Math が存在することを確かめよう。テンプレート:Math に対する漸化式はテンプレート:Math に関する漸化式

r_{0}^{2} λ_{n + 2} = a r_{0} λ_{n + 1} + b λ_{n}

に書き直すことができる。テンプレート:Math とテンプレート:Math となる事実を用いれば、算術数列の定義式

λ_{n + 2} - λ_{n + 1} = λ_{n + 1} - λ_{n}

が得られるから、従って数列テンプレート:Math は一般項がテンプレート:Math の算術数列になる。

故に、(テンプレート:EquationNote) を満たす数列テンプレート:Math の一般項は

u_{n} = (λ + μ n) r_{0}^{n}

となる。この結果は、数列が実数値でも複素数値でも特性多項式の判別式がテンプレート:Math ならば適用できる。

異なる二根が特に共軛の場合

特性多項式が実係数で、その判別式が真に負であるとき、この二次方程式の二つの根は相異なり、テンプレート:Mathbf において共軛である。それを

r_{1} = ρ e^{i θ}, r_{2} = ρ e^{- i θ}

とすると、これは上記の二つの場合の前者であるから、(テンプレート:EquationNote) を満足する任意の複素数列は一般項がテンプレート:Mvar を複素パラメータとしてテンプレート:Math の形に書ける。パラメータをテンプレート:Math に取り換えて、一般項をテンプレート:Math と書き直すこともできる。

従って、(テンプレート:EquationNote) を満足する実数列の場合にも一般項を

u_{n} = ρ^{n} (A \cos (n θ) + B \sin (n θ))

と書くことができる。実際、（先天的に複素数として与えた）パラメータテンプレート:Mvar が実数ならば、数列も実数値となるし、逆に、テンプレート:Math でテンプレート:Math に気を付ければ、テンプレート:Math が実数ならばテンプレート:Mvar もそうであることがわかる。

テンプレート:Mvar-階の回帰列

テンプレート:Mvar-階回帰列の成すテンプレート:Mvar-次元部分空間

テンプレート:Mvar-階の線型漸化式テンプレート:NumBlk を満たすテンプレート:Mathbf-値数列全体の成す集合テンプレート:Math はテンプレート:Mathbf-値数列全体の成すベクトル空間の線型部分空間となることが、漸化式の線型性から従う。

さらにこの部分空間がテンプレート:Mvar-次元となることもわかる。実際、テンプレート:Math とテンプレート:Math との間のベクトル空間の同型が、テンプレート:Math の元テンプレート:Math に対し最初のテンプレート:Mvar-項からなるベクトルテンプレート:Math を対応させることで与えられる。故に、([[#math_Rp|Rテンプレート:Sub]]) を満たすテンプレート:Mvar 個の線型独立な列が得られれば、テンプレート:Math がそれらテンプレート:Mvar 個の線型独立系から生成されることがわかる。

一般項の導出

テンプレート:Seealso 一般項を求めるために、テンプレート:Mvar-階回帰列をテンプレート:Math に値をとる数列に読み替える。即ち、各数列テンプレート:Math に対し、テンプレート:Math-値数列テンプレート:Math を

U_{n} = (u_{n}, u_{n + 1}, \dots, u_{n + p - 1})

によって与える。すると、テンプレート:Math に対する漸化式 ([[#math_Rp|Rテンプレート:Sub]]) はテンプレート:Math に対する一階の線型漸化式テンプレート:Math に帰着される。ただしテンプレート:Mvar は

A = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & \dots & ⋮ \\ 0 & \dots & \dots & 0 & 1 \\ a_{0} & a_{1} & \dots & \dots & a_{p - 1} \end{matrix})

なる行列（数列の特性多項式の同伴行列）である。故に数列テンプレート:Math の一般項はテンプレート:Math で与えられる。

これで問題は解決したようにも思えるが、現実的にはテンプレート:Mvar の冪テンプレート:Mvar, … の計算が容易でないことがしばしばあり、むしろ直接にテンプレート:Math の基底を求めたほうがよいこともある。

基底の決定

行列テンプレート:Mvar の特性多項式は

P (X) = X^{p} - \sum_{i = 0}^{p - 1} a_{i} X^{i}

で、これは ([[#math_Rp|Rテンプレート:Sub]]) を満たす数列テンプレート:Math の特性多項式に他ならない。

P = \prod_{i = 1}^{k} (X - r_{i})^{α_{i}}

と書けているとすると、テンプレート:Math の核はテンプレート:Math の核の直和に表される。従って、テンプレート:Math の基底を決定するには、これらの核それぞれの基底を知れば十分である。

多項式テンプレート:Mvar の次数がテンプレート:Mvar より真に小さいとき、一般項がテンプレート:Math であるような任意の数列がテンプレート:Math の核に入ることが、テンプレート:Mvar に関する帰納法で示せる。テンプレート:Math に対する数列テンプレート:Math はテンプレート:Mvar に対応する直和因子におけるテンプレート:Mvar 個の元からなる線型独立系であり、さらにテンプレート:Math としてテンプレート:Math のテンプレート:Math 個の元からなる線型独立系となるから、これはテンプレート:Mvar-次元ベクトル空間テンプレート:Math の基底を成すことが確かめられる。従って、テンプレート:Math の任意の元は、テンプレート:Mvar よりも真に低い次数を持つテンプレート:Mvar に対するテンプレート:Math を一般項とする数列の和として表される。

二階の場合の再考

特性多項式が一次式の積テンプレート:Math に書けるなら、前節の多項式テンプレート:Mvar はテンプレート:Nowrap であり、テンプレート:Math の任意の元は一般項がテンプレート:Math の数列となる。

特性多項式の因数分解がテンプレート:Math なら、前節の多項式テンプレート:Mvar の次数はテンプレート:Math であり、テンプレート:Math の任意の元は一般項がテンプレート:Math の数列となる。

安定性

線型回帰数列 $x_{n} = c_{1} λ_{1}^{n} + \dots + c_{p} λ_{p}^{n}$ において、実根に対応する一つの項がテンプレート:Mvar を無限大に飛ばす極限でテンプレート:Math に収束するのは、その実特性根の絶対値がテンプレート:Math より小さいときである。絶対値がテンプレート:Math に等しいときは、特性根がテンプレート:Math ならばテンプレート:Mvar の増加に伴って一定であり、テンプレート:Math のときは二つの値を行き来する。絶対値がテンプレート:Math より大きい特性根の項はテンプレート:Mvar とともに発散する。同様に、互いに複素共軛な特性根に対応する二項は、それら根の絶対値がテンプレート:Math より小さいとき、減衰振動しながらテンプレート:Math に収束する。絶対値がテンプレート:Math に等しいときは一定振幅で振動し、また絶対値がテンプレート:Math より大きければ際限なく大きくなりつつ振動する。

したがって、この数列テンプレート:Mvar がテンプレート:Mvar の増加に伴ってテンプレート:Math に収束するの（安定の場合）は、全ての特性根の絶対値がテンプレート:Math より小さいことである。

最大の根がテンプレート:Nowrap ならば、テンプレート:Math に収束することも無限大に発散することもない。テンプレート:Nowrap の根がすべて正の実根ならば、テンプレート:Mvar はそのような根に対応する係数テンプレート:Mvar の和に収束する。安定の場合と異なり、この収束値は初期条件に依存し、始点が異なれば長い時間の後異なる点へ導かれる。何れかの根がテンプレート:Math のときは、それに対応する項は永続的に二値間の振動として寄与する。テンプレート:Nowrap の複素根があれば、テンプレート:Mvar は定振幅の変動を続ける。

最後に、何れかの特性根がテンプレート:Math より大きい絶対値を持てばテンプレート:Mvar は無限大に発散するか、絶対値を大きくしながら正の値と負の値の間を振動する。

イサイ・シューアの定理が述べるところによれば、任意の根の絶対値がテンプレート:Math より小さいこと（安定の場合）の必要十分条件は、テンプレート:訳語疑問点範囲^[2]テンプレート:Rp

非斉次の線型差分方程式を上で述べたように斉次化したならば、もとの非斉次方程式の安定性と循環性は斉次化した方程式でも同じで、安定の場合の収束先はテンプレート:Math でなく定常値テンプレート:Mvar になる。

参考文献

テンプレート:Reflist

L. Berg: Lineare Gleichungssysteme mit Bandstruktur. Carl Hanser, München/Wien 1986.
Ian Jaques: Mathematics for Economics and Business. Fifth Edition, Prentice Hall, 2006 (Kapitel 9.1 Difference Equations).

外部リンク

テンプレート:MathWorld
テンプレート:ProofWiki
Linear Recurrence Relations at Brilliant Math & Science Wiki

↑ Chiang, Alpha. Fundamental Methods of Mathematical,Economics, McGraw-Hill, third edition, 1984.
↑ ^2.0 ^2.1 Baumol, William. Economic Dynamics, Macmillan, third edition, 1970.

[Chiang-1] Chiang, Alpha. Fundamental Methods of Mathematical,Economics, McGraw-Hill, third edition, 1984.

[Baumol-2] 2.0 ^2.1 Baumol, William. Economic Dynamics, Macmillan, third edition, 1970.

[1]

[2]

線型回帰数列

目次

定義と簡単な事実

斉次形への帰着

一階線型回帰列

二階線型回帰列

相異なる二根を持つ場合

二重根を持つ場合

異なる二根が特に共軛の場合

テンプレート:Mvar-階の回帰列

テンプレート:Mvar-階回帰列の成すテンプレート:Mvar-次元部分空間

一般項の導出

基底の決定

二階の場合の再考

安定性

参考文献

外部リンク

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相異なる二根を持つ場合

二重根を持つ場合

異なる二根が特に共軛の場合

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基底の決定

二階の場合の再考

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