算術幾何数列

テンプレート:Dablink 数学における算術幾何数列（さんじゅつきかすうれつ、テンプレート:Lang-fr-short; テンプレート:Lang-en-short）は、一次の漸化式を満足する数列で、算術数列および幾何数列をともに一般化するテンプレート:Efn。

定義

ここでは任意の可換体 テンプレート:Mvar をひとつ固定する（例えば実数体 テンプレート:Math や複素数体 テンプレート:Math）。テンプレート:Mvar に値をとる数列 $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ が算術幾何数列であるとは、テンプレート:Mvar の適当な元 テンプレート:Mvar が存在して、その数列が以下の漸化式 $$u_{n+1}=a{u}_n+b(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N})$$ を満足するときに言う。

注意

途中の番号から始まる列 テンプレート:Math は、テンプレート:Math と置くことにより、常に テンプレート:Math なる形に書き直せる。そのような列 テンプレート:Math が テンプレート:Math において上記の漸化式を満たすことと、テンプレート:Math が算術幾何的であることとは同値になる。

性質

• 算術幾何数列は二階線型回帰数列で、斉次線型漸化式 $u_{n+1}=(a+1)u_n-a{u}_{n-1}$ の解として与えられる。
• 算術幾何数列の「公差」テンプレート:Mvar は以下の式で与えられる: $$b=\frac{u_n^2-u_{n-1}{u}_{n+1}}{u_n-u_{n-1}}.$$
• 算術幾何数列の階差数列 $w_n=u_{n+1}-u_n$ は、公比 テンプレート:Mvar の幾何数列である。
• 算術幾何数列の部分和の列 テンプレート:Mvar は三階の線型回帰数列で $$S_{n+1}=(a+2)S_n-(2a+1)S_{n-1}+a{S}_{n-2}$$ を満足する。
• 部分和の列が算術幾何数列を成すような数列は、それ自身が幾何数列を成す。

一般項

テンプレート:Math の場合

テンプレート:Math のとき、漸化式は、 $$u_{n+1}=u_n+b(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N})$$ となり、これは算術数列の漸化式であるから、一般項は $$u_n=u_0+nb(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N})$$ となる。

テンプレート:Math の場合

$r=\frac{b}{1-a}$ と置けば、一般項は $$u_n=a^n(u_0-r)+r(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N})$$ で与えられる（テンプレート:Mvar のときは [[0^0|テンプレート:Math]] と約束する）。

定義節の注意に従えば、より一般に: $$u_n=a^{n-n_0}(u_{n_0}-r)+r(\mathrm{\forall }{n}_0\in \mathbb{N},\mathrm{\forall }n\ge n_0)$$ と書ける。

部分和

テンプレート:Math で、常に テンプレート:Math と書くことにすれば、最初の テンプレート:Mvar 項（第 テンプレート:Math-項から第 (テンプレート:Math-項まで）の和は$$S_n=\sum _{k=0}^{n-1}{u}_k=(u_0-r)\frac{1-a^n}{1-a}+nr$$で与えられる。

これを用いて、連続する項の和も計算できる。上と同じ仮定の下 テンプレート:Math として $$\sum _{k=p}^{n-1}{u}_k=S_n-S_p=(u_0-r)\frac{a^p-a^n}{1-a}+(n-p)r$$ となる。

収束性

一般項および幾何数列の収束条件から、算術幾何数列の極限も テンプレート:Mvar の値（必要ならば テンプレート:Math の符号も）によって決定することができる（テンプレート:Math のとき テンプレート:Math と置いたことに注意）。

テンプレート:Math のときは、数列の極限は初期値が何であろうと テンプレート:Mvar である。つまり、この場合の収束性は、完全に初期条件に無関係である。このような特徴は（ロジスティック列のような）非線型漸化式が極めて初期条件に鋭敏であることと対照である。マルコフ鎖において、これは鎖が安定鎖に収束することを示す。

応用

算術幾何数列は、ある種の人口変動（変動率が一定）のモデリングとして現れる。例えば、常に テンプレート:Math の流入と テンプレート:Math の流出があることを $u_{n+1}=u_n+10-\frac{5}{100}\times u_n$ と書ける。

算術幾何数列はテンプレート:Ill2にも現れる。資本 C を月率 t で借りて月額 M で分割払いする返済計画を考えると、テンプレート:Mvar か月後に残った借金 テンプレート:Mvar の成す数列 テンプレート:Math は漸化式 $R_{n+1}=(1+t)R_n-M$ を満たし、算術幾何数列を成す。

算術幾何数列は二状態マルコフ鎖にも現れる。テンプレート:Ill2 を $$\left(\begin{array}{cc}a& 1-a\\ 1-b& b\end{array}\right)$$ とすると、関係式 $$(p_{n+1},q_{n+1})=(p_n,q_n)\left(\begin{array}{cc}a& 1-a\\ 1-b& b\end{array}\right)$$ から $p_{n+1}=a{p}_n+(1-b)q_n$ が得られ、一方 $q_n=1-p_n$ であったから、代入して $$p_{n+1}=(a+b-1)p_n+1-b$$ を得る。

関連項目

• 算術数列
• 幾何数列