固有多項式

テンプレート:出典の明記 線型代数学において、固有多項式（こゆうたこうしき、characteristic polynomial）あるいは特性多項式（とくせいたこうしき）とは、有限次元線形空間での線形変換に対してその固有値を求めるために得られる多項式のことである。特に正方行列に対して定義される。

固有多項式は、その線形変換（正方行列）の行列の固有値、行列式、トレース、最小多項式といった重要な量と関連している。相似な行列に対しては同じ固有多項式が定まる。

またグラフ理論において、グラフの固有多項式とは、グラフの隣接行列の固有多項式のことを指す。この多項式はグラフの不変量となっている。すなわち同型なグラフは同じ固有多項式を持つ。

動機

テンプレート:Mvar次正方行列 テンプレート:Mvar に対して、

テンプレート:Math2

を満たすスカラー テンプレート:Mvar, ベクトル テンプレート:Math2 が存在するとき、テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar の固有値、テンプレート:Mathbf を テンプレート:Mvar の固有値 テンプレート:Mvar に関する固有ベクトルという。

テンプレート:Mvar の固有値をすべて求めることを考える。

条件 テンプレート:Math2 は

テンプレート:Math

と同値である（ここで テンプレート:Mvar は単位行列）。したがって テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の固有値である必要十分条件は、一次方程式

$(\lambda I-A)𝒙=𝒐$

の非自明な解 テンプレート:Math2 が存在すること、つまり

$\det (\lambda I-A)=0$

となることである。

これは テンプレート:Mvar についての テンプレート:Mvar次方程式である。この方程式を テンプレート:Mvar の固有方程式あるいは特性方程式と言う。

定義

テンプレート:Mathbf を体（例えば実数体や複素数体）とする。テンプレート:Mathbf の元を成分とする テンプレート:Mvar次正方行列 テンプレート:Mvar に対して、テンプレート:Mvar の固有多項式とは、

$p_A(t)=\det (tI-A)$

で定義される多項式 テンプレート:Math のことである。ここで テンプレート:Mvar は単位行列である。

（テンプレート:Math2 を定義とする場合もあるが、テンプレート:Mvar が奇数のときに限り符号 テンプレート:Math が付くだけで、本質的に違いはない。）

例

次の実2次正方行列 テンプレート:Mvar の固有値を求める。

$A=\left[\begin{array}{cc}3& -2\\ 1& 0\end{array}\right]$

そのために、テンプレート:Mvar の固有多項式 テンプレート:Math を求める。

$\begin{array}{cc}{p}_A(t)& =\det (tI-A)\\ & =\left|\begin{array}{cc}t-3& 2\\ -1& t\end{array}\right|\\ & =(t-3)t-2(-1)\\ & =t^2-3t+2\\ & =(t-1)(t-2)\end{array}$

となる。よって テンプレート:Mvar の固有値は テンプレート:Math2 である。

性質

• 固有多項式 テンプレート:Math は、テンプレート:Mvar の重複を込めた全ての固有値を根にもつ最小次数のモニックな（すなわち最高次係数が テンプレート:Math の）テンプレート:Mvar次多項式である。

つまり テンプレート:Mvar の重複を込めた固有値を テンプレート:Math2 とし、テンプレート:Mvar を各固有値の重複度とすると

$p_A(t)=(t-{\lambda }_1{)}^{m_1}\cdots (t-{\lambda }_k{)}^{m_k}$

が成り立つ。

• 固有多項式の定数項 テンプレート:Math は、テンプレート:Math となる。また、テンプレート:Math の係数は テンプレート:Math である。

例えば、2次正方行列 テンプレート:Mvar の固有多項式は

$t^2-\mathrm{tr}(A)t+\det (A)$

と簡単に表すことができる。

また、3次正方行列の固有多項式は

$t^3-\mathrm{tr}(A)t^2+c_{2}t-\det (A)$

と表すことができる。ここで テンプレート:Math は主小行列式の総和である。

• 奇数次の実数係数多項式は少なくとも1つ実根を持つことから、奇数次の実数係数行列は、少なくとも1つ実固有値を持つ。実根をもたない偶数次の多項式は存在するが、代数学の基本定理によれば、複素数の範囲で、テンプレート:Mvar次多項式は重複を込めて テンプレート:Mvar 個の根を持つ。実数係数多項式の実数でない根は複素共役との組で現れることから、実数係数行列の実数ではない固有値も共役複素数の組で現れることが分かる。
• ケイリー・ハミルトンの定理：固有多項式において テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar に置き換えて得られる行列 テンプレート:Math は、零行列に等しい。

$p_A(A)=O$

この定理により、テンプレート:Mvar の最小多項式は テンプレート:Math を割り切ることが分かる。

• 相似な2つの行列は、同じ固有多項式を持つ。

ただし逆は正しくない。すなわち、同じ固有多項式を持つ行列でも相似ではないものがある。例えば、

$\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$

の固有多項式はともに テンプレート:Math だが相似ではない。（前者の最小多項式は テンプレート:Math であるが、後者は テンプレート:Math である。）

• テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の転置行列の固有多項式は一致する。
• テンプレート:Mvar が三角行列に相似であることと、体 テンプレート:Mvar 上で固有多項式が一次式の積に分解することとは同値である。（この場合、テンプレート:Mvar はさらにジョルダン標準形とも相似になる。）
• 2行列の積に対する固有多項式

テンプレート:Math2 を テンプレート:Mvar次正方行列とするとき、テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の固有多項式は一致する。すなわち

$p_{AB}(t)=p_{BA}(t)$

が成り立つ。

より一般に、テンプレート:Mvar が テンプレート:Math行列、テンプレート:Mvar が テンプレート:Math行列で テンプレート:Math とするとき、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar次正方行列で、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar次正方行列である。このとき

$p_{BA}(t)=t^{n-m}{p}_{AB}(t)$

が成り立つ。

関連項目

• 線型代数学
• 跡 (線型代数学)
• 行列式
• 固有値
• 最小多項式
• ジョルダン標準形