同変K理論のソースを表示

{{要改訳}}
{{technical|date=October 2015}}
{{for|位相的同変K理論|{{仮リンク|位相的K理論|en|topological K-theory}}}}

数学において、'''同変代数的K理論'''（どうへんだいすうてきKりろん、{{lang-en-short|equivariant algebraic K-theory}}）は、[[ダニエル・キレン]]の[[代数的K-理論#Q-構成|Q-構成]]を通して、{{仮リンク|線型代数群の作用|label=線型代数群 ''G'' の作用|en|linear algebraic group action}}を持つ代数的スキーム ''X'' 上の{{仮リンク|同変層|label=同変連接層|en|equivariant sheaf}}の圏 <math>\operatorname{Coh}^G(X)</math> に付随する[[代数的K-理論]]である。同変代数的 K-理論は、定義により、
:<math>K_i^G(X) = \pi_i(B^+ \operatorname{Coh}^G(X))</math>
である。特に、<math>K_0^G(C)</math> は、<math>\operatorname{Coh}^G(X)</math> の[[グロタンディーク群]]である。この理論は、1980年代に{{仮リンク|R. W. トーマソン|en|Robert Wayne Thomason}} {{en|(R. W. Thomason)}} により開発された<ref>Charles A. Weibel, [http://www.ams.org/notices/199608/comm-thomason.pdf Robert W. Thomason (1952–1995)].</ref>。特に、彼は局所化定理のような基本的の同変類似を証明した。

同じことであるが{{citation needed|date=December 2013}}、<math>K_i^G(X)</math> は{{仮リンク|商スタック|en|quotient stack}} <math>[X/G]</math> 上の連接層の圏の <math>K_i</math> として定義される（よって、同変 K-理論は、{{仮リンク|スタックのK-理論|en|K-theory of a stack}}の特別な場合である）。

[[レフシェッツ不動点定理]]は、同変（代数的）K-理論の設定でも成立する{{sfn|Baum|Fulton|Quart|1979}}。
<!--:''For the topological equivariant K-theory, see [[topological K-theory]].''
In mathematics, the '''equivariant algebraic K-theory''' is an [[algebraic K-theory]] associated to the category <math>\operatorname{Coh}^G(X)</math> of [[equivariant sheaf|equivariant coherent sheaves]] on an algebraic scheme ''X'' with [[linear algebraic group action|action of a linear algebraic group]] ''G'',  via Quillen's [[Q-construction]]; thus, by definition,
:<math>K_i^G(X) = \pi_i(B^+ \operatorname{Coh}^G(X)).</math>
In particular, <math>K_0^G(C)</math> is the [[Grothendieck group]] of <math>\operatorname{Coh}^G(X)</math>. The theory was developed by R. W. Thomason in 1980s.<ref>Charles A. Weibel, [http://www.ams.org/notices/199608/comm-thomason.pdf Robert W. Thomason (1952–1995)].</ref> Specifically, he proved equivariant analogs of fundamental theorems such as the localization theorem.

Equivalently,{{citation needed|date=December 2013}} <math>K_i^G(X)</math> may be defined as the <math>K_i</math> of the category of coherent sheaves on the [[quotient stack]] <math>[X/G]</math>. (Hence, the equivariant K-theory is a specific case of the [[K-theory of a stack]].)

A version of the [[Lefschetz fixed point theorem]] holds in the setting of equivariant (algebraic) K-theory.<ref>{{harvnb|BFQ|1979}}</ref>-->

== 基本定理 ==
''X'' を同変代数的スキームとする。
{{math_theorem|name=局所化定理|同変代数的スキームの閉埋め込み <math>Z \hookrightarrow X</math> を開埋め込み <math>Z - U \hookrightarrow X</math> が与えられると、次の群の長完全系列が存在する。
:<math>\dots \to K^G_i(Z) \to K^G_i(X) \to K^G_i(U) \to K^G_{i-1}(Z) \to \dots</math>}}
<!--== Fundamental theorems ==
Let ''X'' be an equivariant algebraic scheme.
{{math_theorem|name=Localization theorem|Given a closed immersion <math>Z \hookrightarrow X</math> of equivariant algebraic schemes and an open immersion <math>Z - U \hookrightarrow X</math>, there is a long exact sequence of groups
:<math>\dots \to K^G_i(Z) \to K^G_i(X) \to K^G_i(U) \to K^G_{i-1}(Z) \to \dots</math>}}-->

==出典==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
*{{cite book|first1=N. |last1=Chris|first2=V.|last2=Ginzburg|title=Representation Theory and Complex Geometry|publisher=Birkhäuser|date=1997-05|edition=2nd Revised|isbn=978-0817637927|ref=harv}}.
*{{cite journal|last1=Baum|first1=P.|last2=Fulton|first2=W.|last3=Quart|first3=G.|title=Lefschetz Riemann Roch for singular varieties|journal=Acta. Math|volume=143|issue=1|pages=193-211|date=1979|doi=10.1007/BF02392092|ref=harv}}
* {{cite journal|last=Thomason|first=R.W.|chapter=Algebraic K-theory of group scheme actions|editor-last=Browder|editor-first=W.|title=Algebraic topology and algebraic K-theory|journal=Ann. Math. Stud.|volume=113|pages=539 563|publisher=Princeton University Press|date=1987|ref=harv}}
* {{cite journal|last=Thomason|first=R.W.|title=Lefschetz-Riemann-Roch theorem and coherent trace formula|journal=Invent. Math.|volume=85|pages=515-543|date=1986|ref=harv}}
* {{cite journal|last1=Thomason|first1=R.W.|last2=Trobaugh|first2=T.|chapter=Higher algebraic K-theory of schemes and of derived categories|editor1-last=Cartier|editor1-first=P.|editor2-last=Illusie|editor2-first=L.|editor3-last=Katz|editor3-first=N.M.|editor4-last=Laumon|editor4-first=G.|editor5-last=Manin|editor5-first=Y.|editor6-last=Ribet|editor6-first=K.A.|title=The Grothendieck Festschrift, vol. III.|journal=Prog. Math.|volume=88|pages=247 435|publisher=Boston Basel Berlin: Birkhfiuser|date=1990|ref=harv}}
* {{cite journal|last=Thomason|first=R.W.|title=Une formule de Lefschetz en K-théorie équivariante algébrique|journal=Duke Math. J.|volume=68 |date=1992|pages=447-462|ref=harv}}

== 関連文献 ==
*{{citation|first=Dan|last=Edidin|arxiv=1205.4742|title=Riemann–Roch for Deligne–Mumford stacks|date=2012-11|origdate=2012-05}}

{{topology-stub}}
{{DEFAULTSORT:とうへんけいりろん}}
[[Category:代数的K理論]]
[[Category:K-理論]]
[[Category:数学に関する記事]]