周期関数の一覧のソースを表示

{{翻訳直後|[[:en:List of periodic functions]] 02:24, 21 January 2025 UTC|date=2025-02}}

この記事は、[[周期関数]]の一覧である。なお、定数関数{{math|{{var|f}}{{sub| }}({{var|x}}) {{=}} {{var|c}}}}は、任意の周期について周期的であるが、最小の周期である基本周期を持たないため、掲載していない。また、複数の定義があるいくつかの関数については、一つの定義のみを掲載している。

== 滑らかな関数 ==
<!-- I've included power series for functions unless they are a trivial linear combination of other functions -Jamgoodman 2019-->

列挙されている[[三角関数]]は、特に断りのない限り周期は<math>2\pi</math>である。また、{{mvar|U<sub>n</sub>}} は {{mvar|n}}番目の [[タンジェント数]]または[[オイラー数|セカント数]]{{efn2|{{mvar|n}}が奇数のときはタンジェント数、偶数のときはセカント数とする。セカント数は奇数項が0であり、タンジェント数は偶数項が0であるため、その和に一致し、組み合わせ数学において、交代順列の込み合わせの数に等しい。[[タンジェント数#組み合わせ数学における意味|タンジェント数]]、および{{仮リンク|交代順列|en|Alternating permutation}}を参照。}}を、{{mvar|B<sub>n</sub>}} は {{mvar|n}}番目の [[ベルヌーイ数]]を表し、[[ヤコビの楕円関数]]において<math>q=e^{-\pi \frac{K(1-m)}{K(m)}}</math>とする。

{| class="wikitable sortable"
|-
! 名前 !! 表記 !! 式 {{efn2|式は、[[テイラー級数]]として与えられるものか、他の項目から派生したものである。}} !! フーリエ級数
|-
|[[正弦]] || <math> \sin(x) </math> || <math>\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n + 1)!}</math> || <math> \sin(x) </math>
|-
|[[cas関数]] || <math> \operatorname{cas}(x) </math> || <math>\sin(x)+\cos(x)</math> || <math> \sin(x) + \cos(x) </math>
|-
| [[余弦]] || <math> \cos(x) </math> || <math>\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}</math> ||  <math> \cos(x) </math>
|-
| [[cis関数]] || <math> e^{ix}, \operatorname{cis}(x) </math> || {{math| cos(''x'') + ''i'' sin(''x'')}} || <math>\cos(x)+i\sin(x)</math>
|-
| [[正接]] || <math> \tan(x) </math> || <math>\frac{\sin x}{\cos x}=\sum_{n=0}^\infty \frac{U_{2n+1} x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> || <math>2\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\sin(2nx)</math> <ref>{{cite web|url=http://web.mit.edu/jorloff/www/18.03-esg/notes/fourier-tan.pdf|archive-url=https://web.archive.org/web/20190331130103/http://web.mit.edu/jorloff/www/18.03-esg/notes/fourier-tan.pdf|archive-date=2019-03-31|title=ES.1803 Fourier Expansion of tan(x)|first=Jeremy|last=Orloff|publisher=Massachusetts Institute of Technology|url-status=dead|accessdate=2019-03-31}}</ref>
|-
| [[余接]] || <math> \cot(x) </math> || <math>\frac{\cos x}{\sin x}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}</math> || <math>i+2i\sum_{n=1}^\infty(\cos2nx-i\sin2nx)</math> {{citation needed|date=March 2019}}
|-
| [[正割]] || <math> \sec(x) </math> || <math>\frac1{\cos x}=\sum_{n=0}^\infty \frac{U_{2n} x^{2n}}{(2n)!}</math> || -
|-
| [[余割]] || <math> \csc(x) </math> || <math>\frac1{\sin x}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1} 2 \left(2^{2n-1}-1\right) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}</math>  || -
|-
| [[三角関数の公式の一覧#古い関数|外正割（剰正割）]] || <math> \operatorname{exsec}(x) </math> || <math>\sec(x)-1</math> || -
|-
| [[三角関数の公式の一覧#古い関数|外余割（剰余割）]] || <math> \operatorname{excsc}(x) </math> || <math>\csc(x)-1</math> || -
|-
| [[三角関数の公式の一覧#古い関数|正矢]] || <math> \operatorname{versin}(x) </math> || <math>1-\cos(x)</math> || <math>1-\cos(x)</math>
|-
| [[三角関数の公式の一覧#古い関数|残正矢]] || <math> \operatorname{vercosin}(x) </math> || <math>1+\cos(x)</math> || <math>1+\cos(x)</math>
|-
| [[三角関数の公式の一覧#古い関数|余矢]] || <math> \operatorname{coversin}(x) </math> || <math>1-\sin(x)</math> || <math>1-\sin(x)</math>
|-
| [[三角関数の公式の一覧#古い関数|残余矢]] || <math> \operatorname{covercosin}(x) </math> || <math>1+\sin(x)</math> || <math>1+\sin(x)</math>
|-
| [[三角関数の公式の一覧#古い関数|半正矢]] || <math> \operatorname{haversin}(x) </math> || <math>\frac{1-\cos(x)}{2}</math> || <math>\frac{1}{2}-\frac12\cos(x)</math>
|-
| [[三角関数の公式の一覧#古い関数|半残正矢]] || <math> \operatorname{havercosin}(x) </math> || <math>\frac{1+\cos(x)}{2}</math> || <math>\frac{1}{2}+\frac12\cos(x)</math>
|-
| [[三角関数の公式の一覧#古い関数|半余矢]] || <math> \operatorname{hacoversin}(x) </math> || <math>\frac{1-\sin(x)}{2}</math> || <math>\frac{1}{2}-\frac12\sin(x)</math>
|-
| [[三角関数の公式の一覧#古い関数|半残余矢]] || <math> \operatorname{hacovercosin}(x) </math> || <math>\frac{1+\sin(x)}{2}</math> || <math>\frac{1}{2}+\frac12\sin(x)</math>
|-
| [[ヤコビの楕円関数]] sn || <math> \operatorname{sn}(x,m) </math> || <math>\sin \operatorname{am}(x,m)</math> || <math>\frac{2\pi}{K(m)\sqrt m}
\sum_{n=0}^\infty \frac{q^{n+1/2}}{1-q^{2n+1}}~\sin \frac{(2n+1)\pi x}{2K(m)} </math>
|-
| [[ヤコビの楕円関数]] cn || <math> \operatorname{cn}(x,m) </math> || <math>\cos \operatorname{am}(x,m)</math> || <math>\frac{2\pi}{K(m)\sqrt m}
\sum_{n=0}^\infty \frac{q^{n+1/2}}{1+q^{2n+1}}~\cos\frac{(2n+1)\pi x}{2K(m)}</math>
|-
| [[ヤコビの楕円関数]] dn || <math> \operatorname{dn}(x,m) </math> || <math>\sqrt{1-m\operatorname{sn}^2(x,m)}</math> || <math>\frac{\pi}{2K(m)} + \frac{2\pi}{K(m)}
\sum_{n=1}^\infty \frac{q^{n}}{1+q^{2n}}~\cos\frac{n\pi x}{K(m)} </math>
|-
| [[ヤコビの楕円関数]] zn || <math> \operatorname{zn}(x,m) </math> || <math>\int^x_0\left[\operatorname{dn}(t,m)^2-\frac{E(m)}{K(m)}\right]dt </math> || <math>\frac{2\pi}{K(m)}\sum_{n=1}^\infty \frac{q^n}{1-q^{2n}}~\sin\frac{n\pi x}{K(m)} </math>
|-
| [[ヴァイエルシュトラスの楕円関数]] || <math> \weierp(x,\Lambda) </math> || <math>\frac1{x^2}+\sum_{\lambda\in\Lambda-\{0\}}\left[\frac1{(x-\lambda)^2}-\frac1{\lambda^2}\right] </math> || <math> </math>
|-[[Clausen function]]
|[[クラウゼン関数]]
|<math>\operatorname{Cl}_2(x)</math>
|<math>-\int^x_0\ln\left|2\sin\frac{t}{2}\right|dt</math>
|<math>\sum_{k=1}^\infty\frac{\sin kx}{k^2}</math>
|}

== 滑らかでない関数{{efn2|[[滑らかな関数]]（smooth function）ではない関数を指す。}} ==

以下の関数は周期 <math>p</math> を持ち、引数として <math>x</math> を取る。また、 <math>\lfloor n \rfloor</math> は<math>n</math>の[[床関数]]であり、<math>\sgn</math> は[[符号関数]]である。Kは[[楕円積分]]K(m)を表すものとする。

{| class="wikitable sortable"
|-
! 名前 !! 式 !! 極限 !! フーリエ級数 !! 備考
|-
||  [[三角波 (波形)|三角波]] || <math> \frac{4}{p} \left (x-\frac{p}{2} \left \lfloor\frac{2 x}{p}+\frac{1}{2} \right \rfloor \right )(-1)^\left \lfloor\frac{2 x}{p}+\frac{1}{2} \right \rfloor</math>
||<math>\lim_{m\rightarrow1^-}\operatorname{zs}\left(\frac{4Kx}p-K,m\right)</math> ||<math>\frac8{\pi^2}\sum_{n\,\mathrm{odd}}^{\infty} \frac{(-1)^{(n-1)/2}}{n^2} \sin\left(\frac{2\pi n x}{p}\right)
</math>|| 非連続第一次導関数
|-
||  [[ノコギリ波]] || <math>2 \left( {\frac x p} - \left \lfloor {\frac 1 2} + {\frac x p} \right \rfloor \right)</math> ||<math>-\lim_{m\rightarrow1^-}\operatorname{zn}\left(\frac{2Kx}p+K,m\right)</math> ||<math> \frac2\pi\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}n\sin\left(\frac{2\pi nx}{p}\right) </math>|| 非連続
|-
||  [[矩形波|方形波]] || <math> \sgn\left(\sin \frac{2\pi x}{p} \right) </math> ||<math>\lim_{m\rightarrow1^-}\operatorname{sn}\left(\frac{4Kx}p,m\right)</math> ||<math> \frac4\pi\sum_{n\,\mathrm{odd}}^\infty\frac1n\sin\left(\frac{2\pi nx}{p}\right) </math>|| 非連続
|-
|| [[パルス波]] ||<math>H \left( \cos\frac{2\pi x}{p}- \cos\frac{\pi t}{p}\right)</math>
<small><math>H</math> は [[ヘヴィサイドの階段関数]]であり、<br />t は パルス波が1である時間を表す。</small>
|
|<math>\frac{t}{p} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n\pi} \sin\left(\frac{\pi nt}{p}\right) \cos\left(\frac{2\pi n x}{p}\right)</math>|| 非連続
|-
| 振幅A、周期p/2の[[正弦波]]の大きさ || <math> A\left|\sin\frac{\pi x}p\right| </math> || || <math>\frac{4A}{2\pi}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4A}{\pi}\frac{1}{4n^2-1}\cos\frac{2\pi nx}p</math> <ref name=Papula>{{cite book | author=Papula, Lothar| title=Mathematische Formelsammlung: für Ingenieure und Naturwissenschaftler| publisher=Vieweg+Teubner Verlag | year=2009 | isbn=978-3834807571}}</ref>{{rp|p. 193}}|| 非連続
|-
|| [[サイクロイド]] ||<math>\frac{p - p\cos \left( f^{(-1)}\left( \frac{2\pi x}{p} \right) \right)}{2\pi}</math>

<small><math>f(x)=x-\sin(x)</math> であり、 <math>f^{(-1)}(x)</math> は</small>

<small>その実数上の逆関数である。</small>
||
| <math>\frac{p}{\pi}   \biggl(\frac{3}4 + \sum_{n=1}^\infty \frac{\operatorname{J}_n(n)-\operatorname{J}_{n-1}(n)}n   \cos\frac{2\pi nx}p\biggr)</math>

<small><math>\operatorname{J}_n(x)</math> は [[ベッセル関数|第一種ベッセル関数]] である。</small>
| 非連続第一次導関数
|-
|| [[くし型関数]] ||<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(x-np) </math>
|<math>\lim_{m\rightarrow1^-}\frac{2K(m)}{p\pi}\operatorname{dn}\left(\frac{2Kx}p,m\right)</math>
|<math>\frac1p\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\frac{2n\pi ix}p}</math>|| 非連続
|-
|[[ディリクレ関数]]
|<math>{\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)={\begin{cases}1&x\in \mathbb {Q} \\0&x\notin \mathbb {Q} \end{cases}}}</math>
|<math>\lim_{m,n\rightarrow\infty}\cos^{2m}(n!x\pi)</math>
| -
|非連続
|}

== ベクトル値関数 ==

* [[エピトロコイド]]
* [[エピサイクロイド]] (エピトロコイドの特別な場合)
* [[パスカルの蝸牛形]] (エピトロコイドの特別な場合)
* [[ハイポトロコイド]]
* [[ハイポサイクロイド]] (ハイポトロコイドの特別な場合)
* [[スピログラフ]] (ハイポトロコイドの特別な場合)

== 二重周期関数 ==

* [[ヤコビの楕円関数]]
* [[ヴァイエルシュトラスの楕円関数]]

== 脚注 ==
=== 注釈 ===
{{notelist2}}
=== 出典 ===
{{reflist}}

{{DEFAULTSORT:しゅうきかんすう}}
[[Category:数学の一覧]]
[[Category:数学に関する記事]]