周期関数の一覧

この記事は、周期関数の一覧である。なお、定数関数テンプレート:Mathは、任意の周期について周期的であるが、最小の周期である基本周期を持たないため、掲載していない。また、複数の定義があるいくつかの関数については、一つの定義のみを掲載している。

滑らかな関数

列挙されている三角関数は、特に断りのない限り周期は$2\pi$である。また、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar番目の タンジェント数またはセカント数テンプレート:Efn2を、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar番目の ベルヌーイ数を表し、ヤコビの楕円関数において$q=e^{-\pi \frac{K(1-m)}{K(m)}}$とする。

名前	表記	式 テンプレート:Efn2	フーリエ級数
正弦	$\sin (x)$	$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}$	$\sin (x)$
cas関数	$\mathrm{cas}(x)$	$\sin (x)+\cos (x)$	$\sin (x)+\cos (x)$
余弦	$\cos (x)$	$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!}$	$\cos (x)$
cis関数	$e^{ix},\mathrm{cis}(x)$	テンプレート:Math	$\cos (x)+i\sin (x)$
正接	$\tan (x)$	$\frac{\sin x}{\cos x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{U_{2n+1}{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}$	$2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\sin (2nx)$
余接	$\cot (x)$	$\frac{\cos x}{\sin x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{2}^{2n}{B}_{2n}{x}^{2n-1}}{(2n)!}$	$i+2i\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\cos 2nx-i\sin 2nx)$ テンプレート:Citation needed
正割	$\sec (x)$	$\frac{1}{\cos x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{U_{2n}{x}^{2n}}{(2n)!}$	-
余割	$\csc (x)$	$\frac{1}{\sin x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}{x}^{2n-1}}{(2n)!}$	-
外正割（剰正割）	$\mathrm{exsec}(x)$	$\sec (x)-1$	-
外余割（剰余割）	$\mathrm{excsc}(x)$	$\csc (x)-1$	-
正矢	$\mathrm{versin}(x)$	$1-\cos (x)$	$1-\cos (x)$
残正矢	$\mathrm{vercosin}(x)$	$1+\cos (x)$	$1+\cos (x)$
余矢	$\mathrm{coversin}(x)$	$1-\sin (x)$	$1-\sin (x)$
残余矢	$\mathrm{covercosin}(x)$	$1+\sin (x)$	$1+\sin (x)$
半正矢	$\mathrm{haversin}(x)$	$\frac{1-\cos (x)}{2}$	$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos (x)$
半残正矢	$\mathrm{havercosin}(x)$	$\frac{1+\cos (x)}{2}$	$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos (x)$
半余矢	$\mathrm{hacoversin}(x)$	$\frac{1-\sin (x)}{2}$	$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sin (x)$
半残余矢	$\mathrm{hacovercosin}(x)$	$\frac{1+\sin (x)}{2}$	$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sin (x)$
ヤコビの楕円関数 sn	$\mathrm{sn}(x,m)$	$\sin \mathrm{am}(x,m)$	$\frac{2\pi }{K(m)\sqrt{m}}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{n+1/2}}{1-q^{2n+1}}\sin \frac{(2n+1)\pi x}{2K(m)}$
ヤコビの楕円関数 cn	$\mathrm{cn}(x,m)$	$\cos \mathrm{am}(x,m)$	$\frac{2\pi }{K(m)\sqrt{m}}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{n+1/2}}{1+q^{2n+1}}\cos \frac{(2n+1)\pi x}{2K(m)}$
ヤコビの楕円関数 dn	$\mathrm{dn}(x,m)$	$\sqrt{1-m{\mathrm{sn}}^2(x,m)}$	$\frac{\pi }{2K(m)}+\frac{2\pi }{K(m)}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^n}{1+q^{2n}}\cos \frac{n\pi x}{K(m)}$
ヤコビの楕円関数 zn	$\mathrm{zn}(x,m)$	$\underset{0}{\overset{x}{\int }}[\mathrm{dn}(t,m{)}^2-\frac{E(m)}{K(m)}]dt$	$\frac{2\pi }{K(m)}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^n}{1-q^{2n}}\sin \frac{n\pi x}{K(m)}$
ヴァイエルシュトラスの楕円関数	$\mathrm{\wp }(x,\mathrm{\Lambda })$	$\frac{1}{x^2}+\sum _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }-\{0\}}[\frac{1}{(x-\lambda {)}^2}-\frac{1}{{\lambda }^2}]$	${\displaystyle }$
クラウゼン関数	${\mathrm{Cl}}_2(x)$	$-\underset{0}{\overset{x}{\int }}\ln |2\sin \frac{t}{2}|dt$	$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin kx}{k^2}$

滑らかでない関数テンプレート:Efn2

以下の関数は周期 $p$ を持ち、引数として $x$ を取る。また、 $\lfloor n\rfloor$ は$n$の床関数であり、$\mathrm{sgn}$ は符号関数である。Kは楕円積分K(m)を表すものとする。

名前	式	極限	フーリエ級数	備考
三角波	$\frac{4}{p}(x-\frac{p}{2}\lfloor \frac{2x}{p}+\frac{1}{2}\rfloor )(-1{)}^{\lfloor \frac{2x}{p}+\frac{1}{2}\rfloor }$	$\underset{m\to 1^{-}}{\lim }\mathrm{zs}(\frac{4Kx}{p}-K,m)$	$\frac{8}{{\pi }^2}\sum _{n\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{d}}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{(n-1)/2}}{n^2}\sin \left(\frac{2\pi nx}{p}\right)$	非連続第一次導関数
ノコギリ波	$2(\frac{x}{p}-\lfloor \frac{1}{2}+\frac{x}{p}\rfloor )$	$-\underset{m\to 1^{-}}{\lim }\mathrm{zn}(\frac{2Kx}{p}+K,m)$	$\frac{2}{\pi }\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}\sin \left(\frac{2\pi nx}{p}\right)$	非連続
方形波	$\mathrm{sgn}(\sin \frac{2\pi x}{p})$	$\underset{m\to 1^{-}}{\lim }\mathrm{sn}(\frac{4Kx}{p},m)$	$\frac{4}{\pi }\sum _{n\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{d}}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}\sin \left(\frac{2\pi nx}{p}\right)$	非連続
パルス波	$H(\cos \frac{2\pi x}{p}-\cos \frac{\pi t}{p})$ $H$ は ヘヴィサイドの階段関数であり、 t は パルス波が1である時間を表す。		$\frac{t}{p}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2}{n\pi }\sin \left(\frac{\pi nt}{p}\right)\cos \left(\frac{2\pi nx}{p}\right)$	非連続
振幅A、周期p/2の正弦波の大きさ	$A|\sin \frac{\pi x}{p}|$		$\frac{4A}{2\pi }+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{4A}{\pi }\frac{1}{4n^2-1}\cos \frac{2\pi nx}{p}$ テンプレート:Rp	非連続
サイクロイド	$\frac{p-p\cos \left(f^{(-1)}\left(\frac{2\pi x}{p}\right)\right)}{2\pi }$ $f(x)=x-\sin (x)$ であり、 $f^{(-1)}(x)$ は その実数上の逆関数である。		$\frac{p}{\pi }(\frac{3}{4}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{J}}_n(n)-{\mathrm{J}}_{n-1}(n)}{n}\cos \frac{2\pi nx}{p})$ ${\mathrm{J}}_n(x)$ は 第一種ベッセル関数 である。	非連続第一次導関数
くし型関数	$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (x-np)$	$\underset{m\to 1^{-}}{\lim }\frac{2K(m)}{p\pi }\mathrm{dn}(\frac{2Kx}{p},m)$	$\frac{1}{p}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\frac{2n\pi ix}{p}}$	非連続
ディリクレ関数	${\mathrm{𝟏}}_{\mathbb{Q}}(x)=\{\begin{array}{cc}1& x\in \mathbb{Q}\\ 0& x\notin \mathbb{Q}\end{array}$	$\underset{m,n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\cos }^{2m}(n!x\pi )$	-	非連続

ベクトル値関数

• エピトロコイド
• エピサイクロイド (エピトロコイドの特別な場合)
• パスカルの蝸牛形 (エピトロコイドの特別な場合)
• ハイポトロコイド
• ハイポサイクロイド (ハイポトロコイドの特別な場合)
• スピログラフ (ハイポトロコイドの特別な場合)

二重周期関数

• ヤコビの楕円関数
• ヴァイエルシュトラスの楕円関数