商の微分法則のソースを表示

{{Calculus |Differential}}
[[微分積分学]]における'''商の法則'''（しょうのほうそく、{{lang-en-short|''quotient rule''}}）は二つの[[可微分函数]]の比（商）となっている[[函数]]の[[導函数]]の計算を述べるものである<ref>{{cite book | last=Stewart | first=James | authorlink=James Stewart (mathematician) | title=Calculus: Early Transcendentals |publisher=[[Brooks/Cole]] | edition=6th | year=2008 | isbn=0-495-01166-5}}</ref><ref>{{cite book | last1=Larson | first1=Ron | authorlink=Ron Larson (mathematician)| last2=Edwards | first2=Bruce H. | title=Calculus | publisher=[[Brooks/Cole]] | edition=9th | year=2009 | isbn=0-547-16702-4}}</ref><ref>{{cite book | last1 = Thomas | first1 = George B. | last2=Weir | first2= Maurice D. | last3=Hass | first3=Joel | author3-link = Joel Hass | authorlink=George B. Thomas | title=Thomas' Calculus: Early Transcendentals | publisher=[[Addison-Wesley]] | year=2010 | edition=12th | isbn=0-321-58876-2}}</ref>。

== 主張 ==
具体的に {{mvar|g, h}} はともに可微分で {{math|''h''(''x'') &ne; 0}} として {{math|1=''f''(''x'') = ''g''(''x'')/''h''(''x'')}} と書けば、この商 {{mvar|f}} の微分は <math display="block">
  f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}
</math> で与えられる。
{{math proof|title=[[陰函数微分]]による証明|drop=no|continue=
{{math|1=''f''(''x'') = ''g''(''x'')/''h''(''x'')}} ならば {{math|1=''g''(''x'') = ''f''(''x'')''h''(''x'')}} であるから、[[積の微分法則|積の法則]]により <math display="inline">g'(x)=f'(x)h(x) + f(x)h'(x)</math> となり、{{mvar|f&prime;}} について解けば <math display="block">\begin{align}
 f'(x) &= \frac{g'(x) - f(x)h'(x)}{h(x)} \\
 &= \frac{g'(x) - \frac{g(x)}{h(x)}\cdot h'(x)}{h(x)} \\
 &= \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{h(x)^2}
 \end{align}</math> を得る。
}}
{{math proof |title=[[連鎖律]]による証明|drop=no|continue=
{{math|1=''f''(''x'') = ''g''(''x'')/''h''(''x'') = ''g''(''x'')&sdot;''h''(''x''){{exp|&minus;1}}}} と見れば、積の法則により <math display="inline">f'(x) = g'(x)h(x)^{-1} + g(x)\color{green}(h(x)^{-1})'</math> であり、右辺第二項の微分は[[連鎖律]]のもとで{{ill2|冪の微分法則|en|power rule}}を用いれば、結局 <math display="block">f'(x) = g'(x)h(x)^{-1} + g(x) \cdot\color{green} (-1) h(x)^{-2} h'(x)</math> を得る。整理すれば <math display="block">\begin{align}
   f'(x) &= \frac{g'(x)}{h(x)} - \frac{g(x)h'(x)}{h(x)^2} \\
   &= \frac{g'(x)h(x) -  g(x)h'(x)}{h(x)^2}
 \end{align}</math> となる。
}}

{{math proof|title=[[微分法|導関数]]の定義式を用いた証明|drop=no|continue=
微分すべき関数を{{math|1=''h''(''x'') = ''f''(''x'')/''g''(''x'')}}とおけば次の様な[[極限]]が成り立つ。
<math>\begin{align} \frac{\Delta h}{\Delta x} &=\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}\\&=\frac{\frac{f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{\Delta x}\\&=\frac{f(x+\Delta x)g(x)-f(x)g(x+\Delta x)}{\Delta x \cdot g(x)g(x+\Delta x)}\\&=\frac{1}{g(x)g(x+\Delta x)}\left \{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}g(x)-f(x) \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} \right \}\\& \to \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2},(\Delta x \to 0) \end{align}</math> ∴<math>\left(\frac{f}{g} \right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2} </math>  □ }}

== 例 ==
# {{math|1=''f''(''x'') {{coloneqq}} tan(''x'') = sin(''x'')/cos(''x'')}} の導函数を求めるのに商の法則が利用できる: <math display="block">\begin{align}
    \frac{d}{dx} \tan x &= \frac{d}{dx} \frac{\sin x}{\cos x} \\
    &= \frac{(\frac{d}{dx}\sin x)(\cos x) - (\sin x)(\frac{d}{dx}\cos x)}{\cos^2 x} \\
    &= \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \\
    &= \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x.
  \end{align}</math>

== 高階版 ==
陰函数微分を用いれば、商の {{mvar|n}}-階微分も（({{math|''n'' &minus;1}})-階までの導函数を用いて）計算することができる。例えば、{{math|1=''f&sdot;h'' = ''g''}} を両辺二回微分して {{mvar|f&Prime;}} について解けば <math display="block">f'' = \left(\frac{g}{h}\right)'' = \frac{g'' - 2f'h' - fh''}{h} </math> を得る。

== 関連項目 ==
* [[微分積分学の基本定理]]
* [[解析学]]
* [[積の微分法則]]

== 参考文献 ==
{{reflist}}

{{DEFAULTSORT:しようのひふんほうそく}}
[[Category:微分法]]
[[Category:微分法則]]
[[Category:数学に関する記事]]