四十一角形のソースを表示

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'''四十一角形'''（よんじゅういちかくけい、よんじゅういちかっけい、tetracontahenagon）は、[[多角形]]の一つで、41本の[[辺]]と41個の[[頂点]]を持つ図形である。[[多角形#多角形の内角の和／外角の和|内角の和]]は7020°、[[対角線]]の本数は779本である。

== 正四十一角形 ==
正四十一角形においては、中心角と外角は8.78…°で、内角は171.219…°となる。一辺の長さが a の正四十一角形の面積 S は
:<math>S = \frac{41}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{41} \simeq 133.50783 a^2</math>

;関係式
:<math>\begin{align}
& 2\cos\frac{2\pi}{41}+2\cos\frac{18\pi}{41}+2\cos\frac{6\pi}{41}+2\cos\frac{28\pi}{41}=x_1 \\
& 2\cos\frac{4\pi}{41}+2\cos\frac{36\pi}{41}+2\cos\frac{12\pi}{41}+2\cos\frac{26\pi}{41}=x_2 \\
& 2\cos\frac{8\pi}{41}+2\cos\frac{10\pi}{41}+2\cos\frac{24\pi}{41}+2\cos\frac{30\pi}{41}=x_3 \\
& 2\cos\frac{16\pi}{41}+2\cos\frac{20\pi}{41}+2\cos\frac{22\pi}{41}+2\cos\frac{34\pi}{41}=x_4 \\
& 2\cos\frac{32\pi}{41}+2\cos\frac{40\pi}{41}+2\cos\frac{14\pi}{41}+2\cos\frac{38\pi}{41}=x_5 \\
\end{align}</math>

組を作ると
:<math>\begin{align}
& \left( 2\cos\frac{2\pi}{41}+2\cos\frac{18\pi}{41} \right)+\left( 2\cos\frac{6\pi}{41}+2\cos\frac{28\pi}{41} \right)=x_1 \\
& \left( 2\cos\frac{4\pi}{41}+2\cos\frac{36\pi}{41} \right)+\left( 2\cos\frac{12\pi}{41}+2\cos\frac{26\pi}{41} \right)=x_2 \\
& \left( 2\cos\frac{8\pi}{41}+2\cos\frac{10\pi}{41} \right)+\left( 2\cos\frac{24\pi}{41}+2\cos\frac{30\pi}{41} \right)=x_3 \\
& \left( 2\cos\frac{16\pi}{41}+2\cos\frac{20\pi}{41} \right)+\left( 2\cos\frac{22\pi}{41}+2\cos\frac{34\pi}{41} \right)=x_4 \\
& \left( 2\cos\frac{32\pi}{41}+2\cos\frac{40\pi}{41} \right)+\left( 2\cos\frac{14\pi}{41}+2\cos\frac{38\pi}{41} \right)=x_5 \\
\end{align}</math>

和積の公式より
:<math>\begin{align}
& \left( 2\cos\frac{8\pi}{41} \cdot 2\cos\frac{10\pi}{41} \right)+\left( 2\cos\frac{24\pi}{41} \cdot 2\cos\frac{30\pi}{41} \right)=x_1 \\
& \left( 2\cos\frac{16\pi}{41} \cdot 2\cos\frac{20\pi}{41} \right)+\left( 2\cos\frac{22\pi}{41} \cdot 2\cos\frac{34\pi}{41} \right)=x_2 \\
& \left( 2\cos\frac{32\pi}{41} \cdot 2\cos\frac{40\pi}{41} \right)+\left( 2\cos\frac{14\pi}{41} \cdot 2\cos\frac{38\pi}{41} \right)=x_3 \\
& \left( 2\cos\frac{2\pi}{41} \cdot 2\cos\frac{18\pi}{41} \right)+\left( 2\cos\frac{6\pi}{41} \cdot 2\cos\frac{28\pi}{41} \right)=x_4 \\
& \left( 2\cos\frac{4\pi}{41} \cdot 2\cos\frac{36\pi}{41} \right)+\left( 2\cos\frac{12\pi}{41} \cdot 2\cos\frac{26\pi}{41} \right)=x_5 \\
\end{align}</math>

組の積を考えると
:<math>\begin{align}
& \left( 2\cos\frac{2\pi}{41}+2\cos\frac{18\pi}{41} \right) \cdot \left( 2\cos\frac{6\pi}{41}+2\cos\frac{28\pi}{41} \right)=x_2 + x_3 \\
& \left( 2\cos\frac{4\pi}{41}+2\cos\frac{36\pi}{41} \right) \cdot \left( 2\cos\frac{12\pi}{41}+2\cos\frac{26\pi}{41} \right)=x_3 + x_4  \\
& \left( 2\cos\frac{8\pi}{41}+2\cos\frac{10\pi}{41} \right) \cdot \left( 2\cos\frac{24\pi}{41}+2\cos\frac{30\pi}{41} \right)=x_4 + x_5 \\
& \left( 2\cos\frac{16\pi}{41}+2\cos\frac{20\pi}{41} \right) \cdot \left( 2\cos\frac{22\pi}{41}+2\cos\frac{34\pi}{41} \right)=x_5 + x_1 \\
& \left( 2\cos\frac{32\pi}{41}+2\cos\frac{40\pi}{41} \right) \cdot \left( 2\cos\frac{14\pi}{41}+2\cos\frac{38\pi}{41} \right)=x_1 + x_2 \\
\end{align}</math>

解と係数の関係より
:<math>\begin{align}
& 2\cos\frac{2\pi}{41}+2\cos\frac{18\pi}{41}= \frac{x_1+\sqrt{x_1^2-4(x_2+x_3)}}{2} \\
& 2\cos\frac{16\pi}{41}+2\cos\frac{20\pi}{41}= 2\cos\frac{2\pi}{41} \cdot 2\cos\frac{18\pi}{41} = \frac{x_4+\sqrt{x_4^2-4(x_5+x_1)}}{2} \\
\end{align}</math>
解と係数の関係より
:<math>\begin{align}
& 2\cos\frac{2\pi}{41} = \frac{\frac{x_1+\sqrt{x_1^2-4(x_2+x_3)}}{2} + \sqrt{\left(\frac{x_1+\sqrt{x_1^2-4(x_2+x_3)}}{2}  \right)^2-4\left(\frac{x_4+\sqrt{x_4^2-4(x_5+x_1)}}{2} \right)}}{2} \\
& \cos\frac{2\pi}{41} = \frac{1}{8} \left( {x_1+\sqrt{x_1^2-4(x_2+x_3)}} + \sqrt{\left({x_1+\sqrt{x_1^2-4(x_2+x_3)}}  \right)^2-8\left({x_4+\sqrt{x_4^2-4(x_5+x_1)}} \right)} \right) \\
& \cos\frac{2\pi}{41} = \frac{1}{8} \left( {x_1+\sqrt{8-x_2-2x_3+2x_4}} + \sqrt{\left({x_1+\sqrt{8-x_2-2x_3+2x_4}}  \right)^2-8\left({x_4+\sqrt{8-x_5-2x_1+2x_2}} \right)} \right) \\
& \cos\frac{2\pi}{41} = \frac{1}{8} \left( {x_1+\sqrt{8-x_2-2x_3+2x_4}} + \sqrt{ 16+2x_2+4x_4+ {2x_1\cdot\sqrt{8-x_2-2x_3+2x_4}} -8\left({x_4+\sqrt{8-x_5-2x_1+2x_2}} \right)} \right) \\
& \cos\frac{2\pi}{41} = \frac{1}{8} \left( {x_1+\sqrt{8-x_2-2x_3+2x_4}} + \sqrt{ 16+2x_2-4x_4+ {2\sqrt{46-6x_1+14x_2+5x_3+12x_4}} -8\sqrt{9-x_1+3x_2+x_3+x_4}} \right) \\
\end{align}</math>

ここで、<math>x_1,x_2,x_3,x_4,x_5</math>は以下の五次方程式の解である。
:<math>
x^5+x^4-16x^3+5x^2+21x-9=0
</math>
<math>z^{5}=1</math>の複素数解を <math>\sigma,\sigma^2,\sigma^3,\sigma^4</math> として<math>\lambda_k=x_1+\sigma^k x_2+\sigma^{2k} x_3+\sigma^{3k} x_4+\sigma^{4k} x_5</math>と定義すると

:<math>\begin{align}
& x_1= \frac{-1+\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4}{5} \,\\
& x_2= \frac{-1+\lambda_1\sigma^4+\lambda_2\sigma^3+\lambda_3\sigma^2+\lambda_4\sigma}{5} \,\\
& x_3= \frac{-1+\lambda_1\sigma^3+\lambda_2\sigma+\lambda_3\sigma^4+\lambda_4\sigma^2}{5} \,\\
& x_4= \frac{-1+\lambda_1\sigma^2+\lambda_2\sigma^4+\lambda_3\sigma+\lambda_4\sigma^3}{5} \,\\
& x_5= \frac{-1+\lambda_1\sigma+\lambda_2\sigma^2+\lambda_3\sigma^3+\lambda_4\sigma^4}{5} \,\\
\end{align}</math>
ここで <math>\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4</math> は、<math>\lambda_k^5</math>を計算することにより<math>\sigma</math>の多項式となる。
:<math>\begin{align}
& \lambda_1=\sqrt[5]{41(289+95\sigma+75\sigma^3+5\sigma^4)} \,\\
& \lambda_2=\sqrt[5]{41(289+95\sigma^2+75\sigma+5\sigma^3)} \,\\
& \lambda_3=\sqrt[5]{41(289+95\sigma^3+75\sigma^4+5\sigma^2)} \,\\
& \lambda_4=\sqrt[5]{41(289+95\sigma^4+75\sigma^2+5\sigma)} \,\\
\end{align}</math>

=== 正四十一角形の作図 ===
正四十一角形は[[定規]]と[[コンパス]]による[[定規とコンパスによる作図|作図]]が不可能な図形である。

正四十一角形は[[折紙の数学|折紙]]により作図が不可能な図形である。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
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== 関連項目 ==
* [[円分多項式]]

== 外部リンク ==
{{ウィキポータルリンク|数学}}
* [https://ameblo.jp/titchmarsh/entry-12599065660.html?frm=theme z^p=1 の解法（p:素数） | てっぃちMarshの数学（Mathematics)教室]

{{多角形}}

{{DEFAULTSORT:よんしゆういちかくけい}}
[[Category:多角形]]
[[Category:数学に関する記事]]
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