四十一角形

四十一角形（よんじゅういちかくけい、よんじゅういちかっけい、tetracontahenagon）は、多角形の一つで、41本の辺と41個の頂点を持つ図形である。内角の和は7020°、対角線の本数は779本である。

正四十一角形

正四十一角形においては、中心角と外角は8.78…°で、内角は171.219…°となる。一辺の長さが a の正四十一角形の面積 S は

S = \frac{41}{4} a^{2} \cot \frac{π}{41} ≃ 133.50783 a^{2}

関係式: $\begin{matrix} 2 \cos \frac{2 π}{41} + 2 \cos \frac{18 π}{41} + 2 \cos \frac{6 π}{41} + 2 \cos \frac{28 π}{41} = x_{1} \\ 2 \cos \frac{4 π}{41} + 2 \cos \frac{36 π}{41} + 2 \cos \frac{12 π}{41} + 2 \cos \frac{26 π}{41} = x_{2} \\ 2 \cos \frac{8 π}{41} + 2 \cos \frac{10 π}{41} + 2 \cos \frac{24 π}{41} + 2 \cos \frac{30 π}{41} = x_{3} \\ 2 \cos \frac{16 π}{41} + 2 \cos \frac{20 π}{41} + 2 \cos \frac{22 π}{41} + 2 \cos \frac{34 π}{41} = x_{4} \\ 2 \cos \frac{32 π}{41} + 2 \cos \frac{40 π}{41} + 2 \cos \frac{14 π}{41} + 2 \cos \frac{38 π}{41} = x_{5} \end{matrix}$

組を作ると

\begin{matrix} (2 \cos \frac{2 π}{41} + 2 \cos \frac{18 π}{41}) + (2 \cos \frac{6 π}{41} + 2 \cos \frac{28 π}{41}) = x_{1} \\ (2 \cos \frac{4 π}{41} + 2 \cos \frac{36 π}{41}) + (2 \cos \frac{12 π}{41} + 2 \cos \frac{26 π}{41}) = x_{2} \\ (2 \cos \frac{8 π}{41} + 2 \cos \frac{10 π}{41}) + (2 \cos \frac{24 π}{41} + 2 \cos \frac{30 π}{41}) = x_{3} \\ (2 \cos \frac{16 π}{41} + 2 \cos \frac{20 π}{41}) + (2 \cos \frac{22 π}{41} + 2 \cos \frac{34 π}{41}) = x_{4} \\ (2 \cos \frac{32 π}{41} + 2 \cos \frac{40 π}{41}) + (2 \cos \frac{14 π}{41} + 2 \cos \frac{38 π}{41}) = x_{5} \end{matrix}

和積の公式より

\begin{matrix} (2 \cos \frac{8 π}{41} \cdot 2 \cos \frac{10 π}{41}) + (2 \cos \frac{24 π}{41} \cdot 2 \cos \frac{30 π}{41}) = x_{1} \\ (2 \cos \frac{16 π}{41} \cdot 2 \cos \frac{20 π}{41}) + (2 \cos \frac{22 π}{41} \cdot 2 \cos \frac{34 π}{41}) = x_{2} \\ (2 \cos \frac{32 π}{41} \cdot 2 \cos \frac{40 π}{41}) + (2 \cos \frac{14 π}{41} \cdot 2 \cos \frac{38 π}{41}) = x_{3} \\ (2 \cos \frac{2 π}{41} \cdot 2 \cos \frac{18 π}{41}) + (2 \cos \frac{6 π}{41} \cdot 2 \cos \frac{28 π}{41}) = x_{4} \\ (2 \cos \frac{4 π}{41} \cdot 2 \cos \frac{36 π}{41}) + (2 \cos \frac{12 π}{41} \cdot 2 \cos \frac{26 π}{41}) = x_{5} \end{matrix}

組の積を考えると

\begin{matrix} (2 \cos \frac{2 π}{41} + 2 \cos \frac{18 π}{41}) \cdot (2 \cos \frac{6 π}{41} + 2 \cos \frac{28 π}{41}) = x_{2} + x_{3} \\ (2 \cos \frac{4 π}{41} + 2 \cos \frac{36 π}{41}) \cdot (2 \cos \frac{12 π}{41} + 2 \cos \frac{26 π}{41}) = x_{3} + x_{4} \\ (2 \cos \frac{8 π}{41} + 2 \cos \frac{10 π}{41}) \cdot (2 \cos \frac{24 π}{41} + 2 \cos \frac{30 π}{41}) = x_{4} + x_{5} \\ (2 \cos \frac{16 π}{41} + 2 \cos \frac{20 π}{41}) \cdot (2 \cos \frac{22 π}{41} + 2 \cos \frac{34 π}{41}) = x_{5} + x_{1} \\ (2 \cos \frac{32 π}{41} + 2 \cos \frac{40 π}{41}) \cdot (2 \cos \frac{14 π}{41} + 2 \cos \frac{38 π}{41}) = x_{1} + x_{2} \end{matrix}

解と係数の関係より

\begin{matrix} 2 \cos \frac{2 π}{41} + 2 \cos \frac{18 π}{41} = \frac{x_{1} + \sqrt{x_{1}^{2} - 4 (x_{2} + x_{3})}}{2} \\ 2 \cos \frac{16 π}{41} + 2 \cos \frac{20 π}{41} = 2 \cos \frac{2 π}{41} \cdot 2 \cos \frac{18 π}{41} = \frac{x_{4} + \sqrt{x_{4}^{2} - 4 (x_{5} + x_{1})}}{2} \end{matrix}

解と係数の関係より

\begin{matrix} 2 \cos \frac{2 π}{41} = \frac{\frac{x_{1} + \sqrt{x_{1}^{2} - 4 (x_{2} + x_{3})}}{2} + \sqrt{{(\frac{x_{1} + \sqrt{x_{1}^{2} - 4 (x_{2} + x_{3})}}{2})}^{2} - 4 (\frac{x_{4} + \sqrt{x_{4}^{2} - 4 (x_{5} + x_{1})}}{2})}}{2} \\ \cos \frac{2 π}{41} = \frac{1}{8} (x_{1} + \sqrt{x_{1}^{2} - 4 (x_{2} + x_{3})} + \sqrt{{(x_{1} + \sqrt{x_{1}^{2} - 4 (x_{2} + x_{3})})}^{2} - 8 (x_{4} + \sqrt{x_{4}^{2} - 4 (x_{5} + x_{1})})}) \\ \cos \frac{2 π}{41} = \frac{1}{8} (x_{1} + \sqrt{8 - x_{2} - 2 x_{3} + 2 x_{4}} + \sqrt{{(x_{1} + \sqrt{8 - x_{2} - 2 x_{3} + 2 x_{4}})}^{2} - 8 (x_{4} + \sqrt{8 - x_{5} - 2 x_{1} + 2 x_{2}})}) \\ \cos \frac{2 π}{41} = \frac{1}{8} (x_{1} + \sqrt{8 - x_{2} - 2 x_{3} + 2 x_{4}} + \sqrt{16 + 2 x_{2} + 4 x_{4} + 2 x_{1} \cdot \sqrt{8 - x_{2} - 2 x_{3} + 2 x_{4}} - 8 (x_{4} + \sqrt{8 - x_{5} - 2 x_{1} + 2 x_{2}})}) \\ \cos \frac{2 π}{41} = \frac{1}{8} (x_{1} + \sqrt{8 - x_{2} - 2 x_{3} + 2 x_{4}} + \sqrt{16 + 2 x_{2} - 4 x_{4} + 2 \sqrt{46 - 6 x_{1} + 14 x_{2} + 5 x_{3} + 12 x_{4}} - 8 \sqrt{9 - x_{1} + 3 x_{2} + x_{3} + x_{4}}}) \end{matrix}

ここで、 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ は以下の五次方程式の解である。

x^{5} + x^{4} - 16 x^{3} + 5 x^{2} + 21 x - 9 = 0

$z^{5} = 1$ の複素数解を $σ, σ^{2}, σ^{3}, σ^{4}$ として $λ_{k} = x_{1} + σ^{k} x_{2} + σ^{2 k} x_{3} + σ^{3 k} x_{4} + σ^{4 k} x_{5}$ と定義すると

\begin{matrix} x_{1} = \frac{- 1 + λ_{1} + λ_{2} + λ_{3} + λ_{4}}{5} \\ x_{2} = \frac{- 1 + λ_{1} σ^{4} + λ_{2} σ^{3} + λ_{3} σ^{2} + λ_{4} σ}{5} \\ x_{3} = \frac{- 1 + λ_{1} σ^{3} + λ_{2} σ + λ_{3} σ^{4} + λ_{4} σ^{2}}{5} \\ x_{4} = \frac{- 1 + λ_{1} σ^{2} + λ_{2} σ^{4} + λ_{3} σ + λ_{4} σ^{3}}{5} \\ x_{5} = \frac{- 1 + λ_{1} σ + λ_{2} σ^{2} + λ_{3} σ^{3} + λ_{4} σ^{4}}{5} \end{matrix}

ここで $λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}, λ_{4}$ は、 $λ_{k}^{5}$ を計算することにより $σ$ の多項式となる。

\begin{matrix} λ_{1} = \sqrt[5]{41 (289 + 95 σ + 75 σ^{3} + 5 σ^{4})} \\ λ_{2} = \sqrt[5]{41 (289 + 95 σ^{2} + 75 σ + 5 σ^{3})} \\ λ_{3} = \sqrt[5]{41 (289 + 95 σ^{3} + 75 σ^{4} + 5 σ^{2})} \\ λ_{4} = \sqrt[5]{41 (289 + 95 σ^{4} + 75 σ^{2} + 5 σ)} \end{matrix}

正四十一角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正四十一角形は折紙により作図が不可能な図形である。