四十五角形のソースを表示

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'''四十五角形'''（よんじゅうごかくけい、よんじゅうごかっけい、tetracontapentagon）は、[[多角形]]の一つで、45本の[[辺]]と45個の[[頂点]]を持つ図形である。[[多角形#多角形の内角の和／外角の和|内角の和]]は7740°、[[対角線]]の本数は945本である。

== 正四十五角形 ==
正四十五角形においては、中心角と外角は8°で、内角は172°となる。一辺の長さが a の正四十五角形の面積 S は
:<math>S = \frac{45}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{45} \simeq 160.8825 a^2</math>

<math>\cos (2\pi/45)</math>を平方根と立方根で表すと、
:<math>\begin{align}
\cos\frac{2\pi}{45} =& \cos\left(\frac{\pi}{9}-\frac{\pi}{15}\right) \\
=& \cos\frac{\pi}{9}\cos\frac{\pi}{15}+ \sin\frac{\pi}{9}\sin\frac{\pi}{15}\\
=& \frac{\sqrt[3]{4-4i\sqrt{3}}+\sqrt[3]{4+4i\sqrt{3}}}{4} \cdot \frac{1}{8} \left(\sqrt{6\left(5+\sqrt5\right)}+\sqrt5-1\right)+ \frac{i\left(\sqrt[3]{4-4i\sqrt{3}}-\sqrt[3]{4+4i\sqrt{3}}\right)}{4} \cdot \frac{1}{8} \left(\sqrt{2\left(5+\sqrt5\right)}+\sqrt3-\sqrt{15}\right) \\
=& \frac{1}{32} \left(\left({\sqrt[3]{4-4i\sqrt{3}}+\sqrt[3]{4+4i\sqrt{3}}}\right) \left(\sqrt{6\left(5+\sqrt5\right)}+\sqrt5-1\right)+ {i\left(\sqrt[3]{4-4i\sqrt{3}}-\sqrt[3]{4+4i\sqrt{3}}\right)} \left(\sqrt{2\left(5+\sqrt5\right)}+\sqrt3-\sqrt{15}\right)\right)
\end{align}</math>

;関係式
:<math>\begin{align}
2\cos\frac{2\pi}{45}+2\cos\frac{32\pi}{45}+2\cos\frac{28\pi}{45}=0 \\
2\cos\frac{4\pi}{45}+2\cos\frac{26\pi}{45}+2\cos\frac{34\pi}{45}=0 \\
2\cos\frac{8\pi}{45}+2\cos\frac{38\pi}{45}+2\cos\frac{22\pi}{45}=0 \\
2\cos\frac{16\pi}{45}+2\cos\frac{14\pi}{45}+2\cos\frac{44\pi}{45}=0 \\
\end{align}</math>

三次方程式の係数を求めると
:<math>\begin{align}
& 2\cos\frac{2\pi}{45} \cdot 2\cos\frac{32\pi}{45}+2\cos\frac{32\pi}{45} \cdot 2\cos\frac{28\pi}{45}+2\cos\frac{28\pi}{45} \cdot 2\cos\frac{2\pi}{45}= -3 \\
& 2\cos\frac{2\pi}{45} \cdot 2\cos\frac{32\pi}{45} \cdot 2\cos\frac{28\pi}{45} = 2\cos\frac{2\pi}{15}=\frac{1+\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}}{4}
\end{align}</math>

解と係数の関係より
:<math>
u^3-3u-2\cos\frac{2\pi}{15}=0
</math>

三次方程式を解いて、整理すると<math>\cos (2\pi/45)</math>が求められる。
:<math>\begin{align}
2\cos\frac{2\pi}{45} =& \sqrt[3]{\cos\frac{2\pi}{15}+i\sin\frac{2\pi}{15}}+\sqrt[3]{\cos\frac{2\pi}{15}-i\sin\frac{2\pi}{15}} \\
4\cos\frac{2\pi}{45} =& \sqrt[3]{8\cos\frac{2\pi}{15}+i8\sin\frac{2\pi}{15}}+\sqrt[3]{8\cos\frac{2\pi}{15}-i8\sin\frac{2\pi}{15}} \\
4\cos\frac{2\pi}{45} =& \sqrt[3]{1+\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}+i\left( \sqrt{15}+\sqrt{3}-\sqrt{10-2\sqrt{5}} \right)}+\sqrt[3]{1+\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}-i\left( \sqrt{15}+\sqrt{3}-\sqrt{10-2\sqrt{5}} \right)} \\
\cos\frac{2\pi}{45} =& \frac{1}{4} \left( \sqrt[3]{1+\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}+i\left( \sqrt{15}+\sqrt{3}-\sqrt{10-2\sqrt{5}} \right)}+\sqrt[3]{1+\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}-i\left( \sqrt{15}+\sqrt{3}-\sqrt{10-2\sqrt{5}} \right)} \right) \\
\end{align}</math>

=== 正四十五角形の作図 ===
正四十五角形は[[定規]]と[[コンパス]]による[[定規とコンパスによる作図|作図]]が不可能な図形である。

正四十五角形は[[折紙の数学|折紙]]により作図可能である。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[五角形]]
* [[九角形]]
* [[十五角形]]
* [[十八角形]]
* [[三十角形]]

== 外部リンク ==
{{ウィキポータルリンク|数学}}

{{多角形}}

{{DEFAULTSORT:よんしゆうこかくけい}}
[[Category:多角形]]
[[Category:数学に関する記事]]
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